suites niveau première s

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suites niveau première s
Message de bibor215 posté le 02-02-2013 à 18:33:01 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice sur lequel je bloque un peu, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
on considère la suite ( $U_{n}$ ) définie pour tout $n$ dans $N$ par $U_{n}$ = $\frac{n^{20}}{2^{n}}$
1) Démontrer que l'on a pour tout $n$ dans $N$ l'égalité : $U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
2) On considère les suites ( $V_{n}$ ) et ( $W_{n}$ ) définies pour tout $n$ dans $N^{*}$ par $V_{n}=\frac{n+1}{n}$ et $W_{n}= \left(\frac{n+1}{n} \right)^{20}$
et la fonction $f:x\rightarrow x^{20}$
a) Etudier les variations de le fonction $f$
b) Etudier les variations de la suite ( $U_{n}$ )
c) Déduire les variations de la suite ( $W_{n}$ )
d) Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 29, on a $W_{n}\prec2$
3) Déduire le signe de $U_{n+1}-U_{n}$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 29
4) A partir de quel rang a-t-on:
a) $U_{n} \prec1 ?$
b) $U_{n} \prec 0,001 ?$

Réponse: suites niveau première s de wab51, postée le 02-02-2013 à 19:15:00 (S | E)
Bonsoir bibor: As-tu essayé à répondre à la 1ère question ? Où à une quelconque autre question du problème ?Montre nous ,pour vous savoir comment nous pouvons t'aider .Poste donc tes résultats .Bon courage

Réponse: suites niveau première s de wab51, postée le 02-02-2013 à 20:04:09 (S | E)
Veux -tu bien vérifier et confirmer l'écriture de $U_{n+1} - U_{n} ?$ Il me semblerait bien qu'il y'a une erreur .(tu as oublié un 2 (la base de la puissance )dans les deux termes du numérateur ) .

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 02-02-2013 à 20:12:38 (S | E)
Bonsoir Bibor,

Question 1 : La méthode est la suivante :
a) Écrire U_n+1
b) Écrire U_n+1 - U_n
c) Réduire au même dénominateur.
Où éprouves-tu une difficulté dans cette question ?
Sur ce site on ne peut faire le travail à la place des élèves, mais plutôt les orienter vers la bonne voie.

Pour les autres questions, tu peux suivre la prescription de Wab.

À toi de jouer.

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 02-02-2013 à 20:16:27 (S | E)
Bonsoir Wab : Non, non, il n'y a pas d'erreur dans le résultat de la question 1.

Réponse: suites niveau première s de wab51, postée le 02-02-2013 à 21:28:30 (S | E)
Bonsoir milarepa .C'est encore plus facile que je n'imaginais .
$U_{n} =2 ^{\frac{n^{20}}{n}}$ (en se référant à cette lecture ,le nombre 2 est pris comme base alors que $\frac{n^{20}}{n}$ est pris comme exposant )
alors que la bonne écritureest la suivante : $U_{n} = \frac{n^{20}}{2^{n}}$ ( rapport dans le numérateur est $n^{20}$ et le dénominateur est $2^{n}$ )
C'est pourquoi ,ma question était " il me semblerait " donc le doute ? Maintenant ,l'écriture est bien claire pour tout le monde .Je te salue bien mon cher milarepa

Réponse: suites niveau première s de tiruxa, postée le 03-02-2013 à 10:33:03 (S | E)
Bonjour
Il y a par contre une erreur au 2 b)
C'est la suite (Vn) dont il faut donner les variations, celles de la suite (Un) ne seront étudier qu'au 3.
Dans le 1) l'étape un peu délicate est la mise au même dénominateur, il faut utiliser le fait que :
2^(n+1) = 2^n x 2
N'hésite pas à poser des questions, à condition qu'elles soient précises.

Réponse: suites niveau première s de chocho87, postée le 03-02-2013 à 12:39:06 (S | E)
j'aimerais bien de nous montrer ton essai dans cet excercice pour que je puisse t'aider, l'interet est de comprendre pour permettre de résourdre n'importe quel excercice, bon courage

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 03-02-2013 à 13:05:43 (S | E)
Bonjour à  wab51,  milarepa et tiruxa
merci pour vos informations.
j'apporte une correction dans le l'intitulé de cet exercice
dans la question 2)b) les variations à étudier sont celles de
( $V_{n}$ )
et non pas de ( $U_{n}$ )

je suis en train de finir, je poste mes réponses en début d'après midi
salutations

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 03-02-2013 à 16:42:58 (S | E)
bonjour à  wab51,  milarepa, tiruxa et  chocho87
merci pour vos informations.
je viens de réaliser cet exercice, voici mes réponses:
question 1) démontrer
$U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
$U_{n+1}$ = $\frac{(n+1)^{20}}{2^{n+1}}$
$U_{n}$ = $\frac{n^{20}}{2^{n}}$
donc $U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}}{2^{n+1}}$ - $\frac{n^{20}}{2^{n}}$
on réduit au même dénominateur $\frac{2^{n}(n+1)^{20}-2^{n+1}n^{20}}{2^{n}2^{n+1}}$
on sait que $2^{n+1} = 2^{n}2$
d'où $\frac{2^{n}(n+1)^{20}-2^{n}2n^{20}}{2^{n}2^{n+1}}$
on simplifie par $2^{n}$ , donc $U_{n+1}$ - $U_{n}$ =   $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
question 2)
a) variations de
$f:x\rightarrow x^{20}$
l'exposant est pair donc
$f(-x) = f(x)$

c'est une fonction paire

$f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$
$f$ est croissante sur $[0;+\infty[$
b) variations de $V_{n}=\frac{n+1}{n}$
l'ensemble de définition est $N^{*}$
je prends 2 réels -5 et -2 sur $N^{-}$
$V_{-5}=\frac{4}{5}$
$V_{-2}=\frac{1}{2}$
-5 $\prec$ -2 et $V_{-5}\succ V_{-2}$ donc $V_{n}$ est décroissante sur $N^{-}$
je prends 2 réels 2 et 5 sur $N^{+}$
$V_{2} = \frac{3}{2}$
$V_{5} = 2$
2 $\prec$ 5 et $V_{2} \prec V_{5}$ donc $V_{n}$ est croissante sur $N^{+}$
c) variations de
$W_{n}= \left(\frac{n+1}{n} \right)^{20}$
l'ensemble de définition est $N^{*}$
je prends 2 réels -3 et -1 sur $N^{-}$
$W_{-3}$ $\simeq$ 3x10 $^{-4}$
$W_{-1}$ = 0
-3 $\prec$ -1 et $W_{-3} \succ W_{-1}$    donc $W_{n}$ est décroissante sur $N^{-}$
je prends 2 réels 1 et 3 sur $N^{+}$
$W_{1}$ = 1 048 576
$W_{3}$ $\simeq$ 315,3
1 $\prec$ 3 et $W_{1} \succ W_{3}$ donc $W_{n}$ est décroissante sur $N^{+}$
d) pour $n$ $\geq$ 29, démontrer que   $W_{n}$ $\prec$ 2
je sais que $W_{n}$ est décroissante sur $N^{+}$
je calcule $W_{28}$ $\simeq$ 2,02
je calcule $W_{29}$ $\simeq$ 1,97
donc pour tout $n$ $\geq$ 29, on a bien $W_{n}$ $\prec$ 2
question 3) signe de $U_{n+1}$ - $U_{n}$   pour tout entier $n$ $\geq$ 29
$U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
avec
$n$ $\geq$ 29 :
je sais que
$n+1$
sera toujours inférieur à
$2n$ dans le numérateur donc $(n+1)^{20}-2n^{20}\prec 0$
le dénominateur
$2^{n+1}$
sera toujours positif

donc le quotient
$\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
sera toujours négatif

le signe de
$U_{n+1}$
-
$U_{n}$
pour tout entier $n$ $\geq$ 29 est négatif

question 4) à partir de quel rang a-t-on :

a)
$U_{n\prec}1$ ?

pour $n$ élément de (0;1)
b)
$U_{n}\prec 0,001 ?$

pour
$n$ = 0

je vous remercie si vous constatez des erreurs ou manques de démonstrations

Réponse: suites niveau première s de tiruxa, postée le 03-02-2013 à 18:16:04 (S | E)
Les erreurs sont aux questions 2b et 2c puis à la 4.

En 2b et 2c, un exemple ne permet pas de démontrer un cas général, il ne peut servir que comme contrexemple !

Donc il faut procéder dans le cas général avec un n quelconque.
Par exemple en étudiant le signe de Vn+1 - Vn.

Pour la 4, on demande à partir de quel rang Un < 1, ce qui signifie que pour TOUTES les valeurs de n à partir de ce rang là on doit avoir Un < 1 !
la suite (Un) décroit certes à partir du rang 29 mais pas très vite... utilise la calculatrice pour obtenir les valeurs successives , on peut voir que U100 est voisin de 7,8, on n'est pas encore à 1 encore moins à 0,001.

Mais pour le reste c'est plutôt bien fait.
Bonne continuation

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 03-02-2013 à 18:23:31 (S | E)
Bonjour Bibor,

Q1 : Ton calcul est juste quant au résultat (qu'on te donnait), mais pas satisfaisant méthodologiquement. En effet, puisque 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ.2, quand tu réduits au même dénominateur, il est inutile de multiplier U_n+1 en haut et en bas par 2ⁿ, le dénominateur commun étant directement 2ⁿ⁺¹ (et non pas 2ⁿ2ⁿ⁺¹ comme tu l'as écrit). Il suffit que tu multiplies U_n en haut et en bas par 2.

Q2 a) : Quel est le domaine de définition de x (il n'est pas précisé dans l'énoncé ?) ? Comment prouves-tu que la fonction f est croissante sur [0, +infini[ ? As-tu appris l'étude d'une fonction par le calcul de la dérivée ?

Q2 b) : n appartient à N, qui est un ensemble de nombres positifs. On ne peut donc prendre des valeurs de n négatives.

Q2 c) : On doit déduire, et pas démontrer, les variations de W. Et sur N, pas sur N^-, qui n'existe pas.

Q2 d) : En admettant que tu aies démontré, dans les questions précédentes, que W est décroissante sur N (et non pas sur N⁺, qui n'existe pas, donc à corriger), alors ta réponse est exacte.

Q3 : Ta démonstration n'est pas assez explicite : comment sais-tu que n+1 est toujours inférieur à 2n, et comment en déduits-tu que (n+1)²⁰ - 2n²⁰ est négatif ? Il ne faut pas confondre affirmation avec démonstration.

Q4 a) : Cette affirmation n'est pas démontrée.

Q4 b) : Idem.

Bravo pour avoir écrit tout cela.
Tu dois cependant faire preuve de plus de rigueur mathématique.
Courage, tu devrais arriver à reprendre tout cela et à maîtriser le sujet.
Cordialement.

Réponse: suites niveau première s de plumeslud, postée le 04-02-2013 à 15:13:20 (S | E)
Bonjour a tous j'ai une question qui na rien avoir avec le sujetais je voulait savoir le nivo cap correspond a quel chiffre sur ce site?merci d'avance pour vos reponses

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 04-02-2013 à 15:58:21 (S | E)
Bonjour Plume,

Il n'y a pas de chiffre ni de niveau sur ce forum *. Si tu as des questions de math (ou de physique), tu ouvres un dossier, tu exposes ta question ou ton problème et il y a toujours quelqu'un qui viendra te répondre.

Cordialement.
_______________
* Il y a également un forum pour des questions de français, et un forum anglais, etc. (il suffit que tu cliques sur l'onglet-drapeau approprié en haut de la page pour y accéder).

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 05-02-2013 à 15:52:13 (S | E)
bonjour à tous, je remercie tiruxa et milarepa pour le temps passé à me répondre.
voici l'exercice corrigé en tenant compte de vos remarques :
JE TRAITE LES QUESTIONS 1) et 2) a) b) c) d)
LES QUESTIONS 3) et 4) SERONT DANS UN AUTRE MESSAGE PLUS TARD DANS LA JOURNEE
question 1) démontrer
$U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
$U_{n+1}$ = $\frac{(n+1)^{20}}{2^{n+1}}$
$U_{n}$ = $\frac{n^{20}}{2^{n}}$
donc $U_{n+1}$ - $U_{n}$ = $\frac{(n+1)^{20}}{2^{n+1}}$ - $\frac{n^{20}}{2^{n}}$
on sait que $2^{n+1} = 2^{n}2$ , on va réduire les deux termes de la soustraction au même dénominateur
d'où $\frac{(n+1)^{20}}{2^{n+1}}-\frac{2n^{20}}{2^{n}2}$
ce qui revient à écrire $U_{n+1}$ - $U_{n}$ =   $\frac{(n+1)^{20}-2n^{20}}{2^{n+1}}$
question 2)
a) variations de
$f:x\rightarrow x^{20}$

l'ensemble de définition est $N$
on calcule la dérivée de $f(x)$
$f'(x) = 20x^{19}$
$f'(x)$ s'annule pour $x$ =0
$f'(x)$ est positive pour tout $x \in N^{*}$
donc $f(x)$ est strictement croissante sur $N$

b) variations de $V_{n}=\frac{n+1}{n}$
l'ensemble de définition est $N^{*}$
en tenant compte de la remarque de tiruxa, j'étudie le signe de $V_{n+1}- V_{n}$
$V_{n+1}$ = $\frac{n+1+1}{n+1}$ = $\frac{n+2}{n+1}$
$V_{n+1}- V_{n}$ =

$\frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}$ =
$\frac{n(n+2)-(n+1)^{2}}{n(n+1)}$
= $\frac{n^{2}+2n-n^{2}-2n-1}{n^{2}+n}$ = $-\frac{1}{n^{2}+n}$

pour tout

$n$ de $N^{*}$ , on sait dire que

$-\frac{1}{n^{2}+n}$ sera inférieur à 0

donc

$V_{n+1}- V_{n}$

$\prec$ 0 d'où $V_{n+1} \prec V_{n}$
on en déduit que $V_{n}$ est strictement décroissante sur
$N^{*}$

c) variations de

$W_{n}= \left(\frac{n+1}{n} \right)^{20}$

l'ensemble de définition est $N^{*}$

pour tout $a$ et $b$ de $N^{*}$ , si $a \prec b$ alors $a^{n} \prec b^{n}$

on en déduit que le sens de variation de $W_{n}$ est le même que pour $V_{n}$

$W_{n}$ est donc strictement décroissante sur $N^{*}$

d) pour $n$ $\geq$ 29, démontrer que $W_{n}$ $\prec$ 2
je sais que $W_{n}$ est décroissante sur $N^{*}$
je calcule $W_{28}$ $\simeq$ 2,02
je calcule $W_{29}$ $\simeq$ 1,97
donc pour tout $n$ $\geq$ 29, on a bien $W_{n}$ $\prec$ 2
n'hésitez pas à me faire part de vos remarques.

Réponse: suites niveau première s de tiruxa, postée le 05-02-2013 à 16:56:15 (S | E)
Bon ce n'est pas parfait mais c'est déjà beaucoup mieux.

Les petites erreurs proviennent surtout des ensembles, confusions entre N et R...

au 2a) la fonction (qui n'est pas une suite...) est définie sur R
si x > 0 , f '(x) > 0 et f(0)=0 donc f est strictement croissante sur R+

au 2b, dire simplement que la suite (Un) est strictement décroissante, c'est pour les fonctions que l'on précise un intervalle, pour les suites on peut dire le cas échéant : à partir du rang...

au 2c) c'est correct si tu remplaces l'exposant n par 20, c'est l'application du résultat du 2a)
Personnellement j'aurai plutôt écrit :
Pour tout entier n non nul :
Vn+1 < Vn donc Vn+1^20 < Vn^20 ceci d'après le 2a) et parce que (Vn) est positive

au 2d) tu peux dire qu'une suite décroissante est majorée par son premier terme à titre de justification.

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 05-02-2013 à 17:21:02 (S | E)
Bonjour Bibor,

Q1 :

Q2 a) : Le domaine de définition de x devrait t'avoir été donné dans l'énoncé, mais je ne l'y vois pas.
Quand on considère une fonction f(x), en général, c'est R, et non pas N.
Je te recommande donc d'étudier la variation de f dans R, d'autant plus que c'est facile (ton calcul de la dérivée est juste).

Q2 b) :

La démonstration est globalement exacte. Il faut juste que tu ajoutes une ligne : « Dans N*, n étant >0, alors n² >0 et n²+n > 0, et donc -1/(n²+n) < 0 ». (Il faut toujours éviter les évidences et les affirmations qui se font au détriment d'une démonstration.)

Q2 c) :

Ta démonstration est fausse. En effet, tu assimiles a et b de N* au contenu de la parenthèse de W_n, ce qui est erroné puisque ce contenu n'est pas un entier ! Donc à revoir. Je te rappelle qu'on te demande de "déduire" de ce qui précède les variations de W_n.

Q2 d) :

Bravo pour ta persévérance, Bibor.
Tu as avancé et tu es en train d'apprendre des éléments importants de la rigueur et de la méthodologie en mathématique.
Courage et à plus.

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Modifié par milarepa le 05-02-2013 19:18

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 05-02-2013 à 19:17:13 (S | E)

bonjour milarepa et tiruxa, merci pour toutes ces informations.

je viens de corriger la question 2) a) en remplaçant N par R

a) variations de

$f:x\rightarrow x^{20}$

l'ensemble de définition est $R$

on calcule la dérivée de $f(x)$
$f'(x) = 20x^{19}$
$f'(x)$ s'annule pour $x$ =0
$f'(x)$ est positive pour tout $x \in R^{+}$
donc $f(x)$ est strictement croissante sur $R^{+}$
$f'(x)$ est négative pour tout $x \in R^{-}$
donc $f(x)$ est strictement décroissante sur $R^{-}$

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 05-02-2013 à 19:23:55 (S | E)
Rebonjour Bibor,

Oui, c'est ok pour la question 2-a

Tu as vu, je viens de corriger ma correction de la question 2-d.

Bonne soirée.

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 05-02-2013 à 19:26:45 (S | E)

je viens aussi de complèter la question 2) b)

b) variations de $V_{n}=\frac{n+1}{n}$

l'ensemble de définition est $N^{*}$

j'étudie le signe de $V_{n+1}- V_{n}$

$V_{n+1}$ = $\frac{n+1+1}{n+1}$ = $\frac{n+2}{n+1}$

$V_{n+1}- V_{n}$ =

$\frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n}$ =
$\frac{n(n+2)-(n+1)^{2}}{n(n+1)}$

= $\frac{n^{2}+2n-n^{2}-2n-1}{n^{2}+n}$ = $-\frac{1}{n^{2}+n}$

pour tout

$n$ de $N^{*}$ , on peut écrire que si $n \succ 0$ alors $n^{2} \succ 0$ et $n^{2} + n \succ 0$ donc

$-\frac{1}{n^{2}+n}$ sera inférieur à 0

donc

$V_{n+1}- V_{n}$

$\prec$ 0 d'où $V_{n+1} \prec V_{n}$
on en déduit que $V_{n}$ est strictement décroissante sur
$N^{*}$

Réponse: suites niveau première s de tiruxa, postée le 05-02-2013 à 20:00:14 (S | E)
Juste un mot en vitesse... à la question 3) pense au résultat final de la 2 et transforme le.

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 05-02-2013 à 20:06:29 (S | E)
Ok pour la Q2 b)

Réponse: suites niveau première s de bibor215, postée le 05-02-2013 à 20:26:44 (S | E)

à l'attention de tiruxa et milarepa

je viens de corriger la question 2) c)

c) variations de $W_{n}= \left(\frac{n+1}{n} \right)^{20}$

l'ensemble de définition est $N^{*}$

on peut écrire que $W_{n}$ = $(V_{n})^{20}$

de la question précédente et pour tout entier $n$ non nul on peut dire que :

$V_{n} + 1 \prec V_{n}$ donc $(V_{n} +1)^{20} \prec (V_{n})^{20}$

on en déduit que que $W_{n}$ est strictement décroissante comme $V_{n}$

je suis un peu perdu avec les questions 3) et 4) je ne sait pas comment m'y prendre

Réponse: suites niveau première s de milarepa, postée le 05-02-2013 à 21:41:32 (S | E)
Ok pour la Q2 c)

Q3 : On veut seulement le signe de U_n+1 - U_n, c'est-à-dire le signe de [(n+1)²⁰ - 2n²⁰]/2ⁿ⁺¹, À PARTIR de ce qui précède.
Il faut donc :
1- que tu retrouves l'expression de W_n dans cette dernière expression,
2- ET que tu appliques le résultat de la Q2 d).

Courage !

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