Généralités sur les fonctions

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Généralités sur les fonctions
Message de hatahata posté le 10-04-2014 à 15:55:20 (S | E | F)
Bonjour!
Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
L’énoncé est le suivant:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (o , i , j ) .
1. Pour tout x > 0, on désigne par P le point de (o , i ) d’abscisse x.
a. Montrer qu’il existe un unique point M d’ordonnée positive, tel que le triangle OPM
soit rectangle en P et d’aire égale à 1.
b. Sur quelle courbe varie le point M lorsque le point P varie ?
c. On désigne par g la fonction qui à x associe l’ordonnée de M. Donner l’expression de g.
d. Pour quelles valeurs de x, a-t-on 2 ≤ g(x) ≤ 10 ?
2. Pour tout x > 0, on désigne par N le point de coordonnées (0, g(x)).
Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le périmètre du rectangle OPMN est égal à 2 ?

Pour la 1ère question
g essayer comme suit:
P(x,0)
M(x,y)
car l'abscisse de du point P et M sont égaux. et l’ordonnè de P=0
x²+y²=OM²
x.y=2
Mais pas de solution p.
Comment faire s'il vous plaît ?
Merci
-------------------
Modifié par bridg le 10-04-2014 15:57

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 10-04-2014 à 18:18:20 (S | E)

Hatahata,

vous avez écrit l'équation de la courbe....exprimez y en fonction de x! Et vous obtiendrez l'hyperbole du graphique!

Réponse: Généralités sur les fonctions de hatahata, postée le 10-04-2014 à 20:55:56 (S | E)
Merci beaucoup pour votre précieuse aide,
Dans ce cas et d’après ce que j'ai compris:
on pose OM²=k² car cette distance est inconnue
Après on aura:
x²+y²=k²
et
x.y=2
y en fonction de x nous donne:
y²=k²-x²
y²=(k-x)(k+x)
y=racine{(k-x)(k+x)}
Pour le point P on a y=0 càd (k-x)(k+x)=0
Alors x=k =OM car x>0
Pour le point M
On a x.y=2, donc y = 2/x = 2/k avec x>0 et y>0 et k>0.
Mais monsieur je n'arrive pas à dessiner la courbe.
Pouvez vous m'aider un peu plus.
Merci beaucoup.

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 10-04-2014 à 21:42:28 (S | E)

Hatahata,

le k n'est pas essentiel....

Ce que vous avez écrit:et que vous avez trouvé tout de suite:

On a x.y=2, donc y = 2/x

= 2/k avec x>0 et y>0 et k>0.)

Voilà l'équation de la courbe, c'est une hyperbole.
Le point M est a l'intesection des 2 droites. Vérifiez que rac(2)=1,414

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 10-04-2014 à 21:45:37 (S | E)
le périmètre du rectangle sera 2*(x/2) + 2*x

Cherchez pour quelle valeur de x cette expression sera égale à ce qu'on vous demande à la question 2!

Réponse: Généralités sur les fonctions de hatahata, postée le 10-04-2014 à 22:52:31 (S | E)
Merci beaucoup monsieur
j'ai enfin trouver la fonction et tracer la courbe.
Concernant la question 2:
on a le périmètre du rectangle égale à 2
càd: 2x+2y=2 et on a x.y=2
2x+2.(2/x)=2
2x+4/x-2=0
2x²-2x+4=0
Le déterminant delta est négatif
pas de solution pour x
pouvez vous s'il vous plait me montrer ou est ma faute ?
merci beaucoup

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 11-04-2014 à 10:24:17 (S | E)
Bonjour Hatahata,

oui, le déterminant est négatif....

Essayez de calculer le périmètre au cas ou x=1 et 2 et 3...

Réponse: Généralités sur les fonctions de hatahata, postée le 11-04-2014 à 11:38:47 (S | E)
Bonjour logon,
merci pour votre aide,
On pose P est le périmètre du rectangle OPMN

pour x=1 on a P=6
pour x=2 on a P=6
pour x=3 on a P=22/3
je constate que la valeur minimale du périmètre est égale à 6 pour tout x>0 et y>0
donc je constate qu'il n'existe pas une valeur de x pour laquelle le périmètre du rectangle OPMN est égal à 2
c'est juste ma conclusion ?
et merci beaucoup monsieur

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 11-04-2014 à 12:41:38 (S | E)
Hatahata bonjour,

Bien.
Mais le minimum pour le périmètre, c'est quand x = √2

Réponse: Généralités sur les fonctions de hatahata, postée le 11-04-2014 à 16:04:19 (S | E)
Merci beaucoup monsieur,
pour trouver le minimum du périmètre on doit chercher:
Min(2x+4/x)
on fait la dérivé on trouve 2-4/x²

elle s'annule en x=√2 car x>0
alors la valeur minimale du périmètre est égale à 4√2
c'est comme ça monsieur?

Réponse: Généralités sur les fonctions de logon, postée le 11-04-2014 à 16:09:22 (S | E)
Hatahata,

vous avez très bien compris. Félicitations.

A une prochaine fois?

Réponse: Généralités sur les fonctions de hatahata, postée le 11-04-2014 à 16:11:49 (S | E)
Merci beaucoup monsieur
A une prochaine fois.

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