Exercice vecteurs PremiereS

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Exercice vecteurs PremiereS
Message de toot0 posté le 01-11-2014 à 13:02:43 (S | E | F)
Bonjour !
J'ai un exercice de maths à faire assez compliqué je trouve. Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît?
Merci d'avance et bonne journée !
Voici l'énoncé:
ABCD est un parallélogramme de centre O. P est le symétrique de O par rapport à A. F est le symétrique de D par rapport à C. Soit E le milieu de [PF]. Démontrons que D, O, et E sont alignés de trois façons différentes.

1.Soit le repère ( D; vecteurDC ; vecteurDA).
(a) donner les coordonnées des points A, C, D,F, O
(b) démontrer que P a pour coordonnées (-1/2 ; 3/2)
(c) démontrer que D,O, E sont alignés.

2.Méthode vectorielle sans repère
(a) exprimer vecteurAC en fonction de vecteurDA et vecteurDC
(b) exprimer vecteurDO en fonction de vecteurDA et vecteur DC
(c) exprmier vecteurPE en fonction de vecteurPC et vecteurCF, puis en fonction de vecteurDA et de vecteur DC.
(d) exprimer vecteurDE en fonction de vecteurDA et vecteurDC
(e) démontrer que O, D, E sont alignés.

3.Démontrer par des propriétés de géométrie plane classiques du collège que D est aligné avec O et E.

Mes réponses:
Pour la 1)a, j'ai mis : A( 0;1), C(1;0), D(0;0), F(2;0)et O (1/2; 1/2)
Pour la 1)b, je ne sais pas comment m'y prendre
Pour la 1)c, je pense qu'il faut montrer que les vecteurs DO et OE sont colinéaires.

Est-ce juste ?
Ensuite, pour les question 2 et 3, je n'y arrive pas du tout,je ne comprends rien.
Lien internet

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Modifié par bridg le 01-11-2014 13:11

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de herodor, postée le 01-11-2014 à 15:33:00 (S | E)
Bonjour !

Merci pour la figure.

1.a) Très bien.

1.b) Lorsque tu n'as pas d'idée, reviens à la définition des choses.
En l'occurence, reviens à la définition de P, tu pourras jouer avec les vecteurs et trouver ce qu'il faut

1.c) C'est une bonne idée. Calcule les coordonnées de ces vecteurs et remarque qu'ils sont colinéaires.

2.a) Il faut introduire certaines lettres pour pouvoir jouer avec les vecteurs (ici, on introduit D) :
vecteurAC = vecteurAD + vecteurDC = -vecteurDA + vecteurDC = vecteurDC - vecteurDA
2.b) Ici, il faut introduire le A et le C, et enlever le O (possible par la relation de O avec A et C)

...

3) Quand on me parle de D, O, et E en utilisant la géométrie de collège, ça me donne envie de travailler dans le triangle PFD (qui n'a rien à voir avec Newton haha).
Dans le triangle PFD, que remarques-tu du point O ?
...

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de toot0, postée le 01-11-2014 à 16:58:49 (S | E)
Merci beaucoup de m'avoir répondu !

Pour la 1)b, j'ai démontré que P a pour coordonnées ( -1/2; 3/2) grâce au fait que A est le milieu de [PO] (j'ai utilisé la formule du milieu)
Pour la 1)c, j'ai effectivement remarqué que vecteurOE = 1/2 vecteurDO et donc que ces deux vecteurs sont colinéaires.

J'ai compris la 2)a, mais pour la 2)b, je reviens toujours à la même chose ! Je n'arrive pas à me débarrasser du O...

Pour la 3), j'ai pu trouver que la médiane passant par le sommet PDF coupe [PF] en son milleu E en passant par le centre de gravité O donc que les points sont inscrits sur la médiane et qu'ils sont donc alignés ... est-ce correct ?

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de herodor, postée le 02-11-2014 à 00:34:27 (S | E)
1) OK !

2.b) Relis l'énoncé, et trouve une relation de vecteurs entre A, O, et C. Ce sera sûrement plus clair ensuite, tu pourras "injecter" facilement cette relation dans le calcul.

De manière générale, lorsqu'on est bloqué-e, une réflexion sur le schéma peut être d'une grande aide pour orienter le calcul...

3) "La médiane passant par le sommet D coupe [PF] en son milleu E". OK, mais ensuite, qu'est-ce qui te fais dire que O est le centre de gravité ?

Pour être clair : Tu cherches à prouver que D, O et E appartiennent à la médiane de PFD passant par D.
C'est bon pour D par définition. C'est bon pour E par construction, car E est le milieu de [PF]. Enfin, O est un bon candidat pour être le centre de gravité de PFD, mais il faut l'expliciter, car ça n'est pas évident.

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de toot0, postée le 02-11-2014 à 12:51:39 (S | E)
Merci encore!Pour la 2)b, j'ai trouvé DO = DB/2= DA/2 + DC/2, et pour la 3) j'ai trouvé PE=PC/2 + CF/2 mais pour les 2 suivantes je bloque complètement...

Pour la 3, par construction on a PO/PC=2/3 or C est le milieu de DF par suite Dans le triangle PFD, O est le centre de gravité... est-ce correct ?

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de herodor, postée le 03-11-2014 à 00:33:26 (S | E)
Indice pour le 2.c et pour le 2.d :
PE = PD+DE = PA+AD+DO+OE

Pour le 2.e on peut réutiliser les résultats du b et du d.

Pour le 3, c'est tout à fait ça.

Réponse: Exercice vecteurs PremiereS de toot0, postée le 03-11-2014 à 20:46:59 (S | E)
Merci beaucoup pour toute votre aide et vos explications très utiles! Finalement j'ai trouvé PE =5DC/4-3DA/4 pour la 2)c et pour la 2)d j'ai trouvé DE=3/4DA+3/4DC
Pour la 2)e, j'ai utilisé la 2)b et la 2)d et j'ai trouvé que DO et DE etaient colineaires car DE=3/2DO.

Merci encore et bonne soirée :D

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