Nombres complexe

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Nombres complexe
Message de yeulma24 posté le 06-10-2016 à 17:31:25 (S | E | F)
Bonjour!!!
j'ai un exercice dont je ne comprend pas

soient a et b deux nombres complexes.
on considère,dans l'ensemble c l'équation x^2+ax+b=0
1)- démontrer que si les racines de cette équation ont toutes deux pour module 1, alors module de b=1, module de a < ou égal a 2 et arg(b)=2arg(a)
2)-étudier la réciproque

Merci de bien vouloir m'aider

Réponse : Nombres complexe de puente17, postée le 06-10-2016 à 22:19:27 (S | E)
Bonjour,

si z1 et z2 sont les racines de l'équation, on aura :
(x-z1) (x-z2) = 0 et en développant x²-(z1+z2)x z1z2 = 0 donc a = -(z1+z2) et b = z1z2
de plus si les racines ont pour module 1 alors on peut poser : z1 = exp(il1) et z2 = exp (il2) avec l1 et l2 les arguments de z1 et z2.
Quelle est la relation entre le module de a et celui de z1 et de z2?
Quelle est la relation entre le module de b et celui de z1 et celui de z2?
Sachant que par hypothèse z1 et z2 ont même module, montrez que arg(b) = arg(z1) + arg(z2) = 2 arg (a)
conseil : faire un graphique dans un repère orthonormé on obtient un beau losange formé par O, z1, z2 et a = z1+z2. Avec ça vous devez pouvoir conclure pour 1).

Pour le 2)
Supposons que l'une des 2 racines au moins n'ait pas pour module 1, alors deux cas se présentent :
soit module de b est différent de 1 et c'est fini, car il y a contradiction.
soit module de b est égal à 1 et dans ces conditions module de z1 et module de z2 sont l'inverse l'un de l'autre avec par exemple le module de z1 strictement plus grand que 1 et donc celui de z2 compris strictement entre 0 et 1.
Faites un schéma, vous obtenez un joli parallélogramme qui n'est pas un losange (avec O, z1, z2, a) et on vérifie qu'alors 2 arg a est different de arg z1 + arg z2 (= arg b) puisque la diagonale (Oa) n'est pas la bissectrice de l'angle (z1 O z2), d'où encore une contradiction.

en conclusion: si l'hypothèse est vérifiée alors la conclusion l'est aussi et si l'hypothèse n'est pas vérifiée alors la conclusion ne l'est pas non plus donc hypothèse et la conclusion sont équivalentes.

Je regrette d'avoir un peu mélangé le programme de terminale et celui de 5ième.

Réponse : Nombres complexe de yeulma24, postée le 07-10-2016 à 08:11:34 (S | E)
Merci pour votre éclaircissement je comprend comment procédé...

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