Petit problème 2

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Petit problème 2
Message de netm posté le 06-01-2017 à 21:17:45 (S | E | F)
Bonjour à tous , c'est le même principe que dans l'autre topic , donc pourriez vous m'aider à nouveau s'il vous plaît ? Merci beaucoup

Je commence avec une question 7 , qui devrait être facile mais pourtant je n'arrive pas à la résoudre , alors que je trouve plein de donnée .
l'énoncé : Les tangentes issues d'un point extérieur à un cercle de rayon 3 font entre elles un angle de 60°. Quelle est l'aire de la surface comprise entre le cercle et ces tangentes ? 9-pi 9V3 - 3pi pi+3+3V3 pi+3V3 9.(pi-V3)
Il y a un petit dessin , mais il n'est pas très utile . C'est un cercle compris entre un " angle " ( 2 tangentes croisées ) , le souci c'est la surface demandé est assez bizarre , enfin je ne vois pas comment calculer l'aire , merci beaucoup .

20. Combien y'a t'il de couple de naturels dont le produit égale la double somme ?
4 3 2 1 une infinité ? Je veux éviter de tricher et remplacer a et b par des valeurs numériques , y'a t'il un moyen d'avoir la réponse sans utiliser cette méthode ? Merci

Et une question 2 pour finir ( qui devrait donc être trèèès facile )

2.Un disque est partagé en 2000 secteurs de même amplitude par des rayons issus de son centre. Quel est le nombre maximal de ces secteurs qu'une droite peut couper , si elle ne passe pas par le centre du disque ?
998 999 1000 1001 1002
Je trouve toujours la réponse 999 , mais c'est 1001 , pourquoi En gros après plein de dessin , j'en viens à dire que : quand je coupe le disque en 4 , 499 secteurs par partie , ( car les deux droites qui l'ont coupés = 4 rayons ) , quand la droite coupe à un cheveu du centre les secteurs , elle en coupe : 499+499+1 = 999 non ? Comment faites vous ?

Merci beaucoup !

Réponse : Petit problème 2 de puente17, postée le 06-01-2017 à 22:01:04 (S | E)
Bonjour,
n° 2 : Essayez en coupant le disque en 4 = 2x2 et vous verrez qu'on peut trouver des sécantes qui traversent 3 secteurs (3= 2+1)il suffit ensuite d'adapter à 2000.

n°20 : chercher pour a = b c'est curieux. puis poser que a > b (toujours possible d'appeler a le plus grand) et résoudre pour b>= 4.
enfin traiter les cas b =3, b = 2 et b= 1.
Remarque : Si on ne tient pas compte des unités ça revient à comparer la superficie et le périmètre d'un rectangle (ou les petits carrés unitaires qui longent le périmètre, à 4 près!!si le problème des unités: surface / longueur vous gêne) ... ça peut aider à voir le problème.

n°7 :il faut savoir qu'un tangente est perpendiculaire au rayon du cercle qui arrive à son point de contact. une fois ça remarqué c'est un exercice de 3ième sur des triangles rectangles très particuliers dont les caractéristiques sont des questions de cours.

Réponse : Petit problème 2 de tiruxa, postée le 06-01-2017 à 22:54:51 (S | E)
Bonjour,

20 : A priori, quand on a une équation et deux inconnues on peut s'attendre à avoir une infinité de solutions mais bon il y a bien sûr des exceptions comme x²+y²=0 par ex, une seule solution (0;0) .... donc méfiance !

Quand il est question de somme et de produit il est tentant de passer par une équation du second degré ax²+bx+c=0 dont les solutions, si elles existent, ont pour produit c/a et pour somme -b/a.

Donc ici on doit avoir c= -2b
Toute équation du second degré ayant des solutions (il suffit pour cela que a et c soient de signes contraire) et vérifiant c= -2b donne des solutions du problème, il est clair qu'il y en a bien une infinité.

Par ex : x²+x-2 =0 solutions 1 et -2 etc....

Réponse : Petit problème 2 de netm, postée le 06-01-2017 à 23:45:46 (S | E)
Merci à vous deux pour votre réponse rapide

Puente17

Pour le 7 , oui je sais très bien , si on relie le centre du cercle au point d'intersection des tangentes , on a deux triangle isométrique rectangle , mais ça ne m'aide pas enfin peut être que je comprends mal l'exercice , on nous demande bien l'aire de la surface qui a " 4" sommets avec un coté arrondi ?

Pour le 2 , j'y avais pensé mais en fait je me suis dit que : comme elle ne touche pas le centre , elle ne coupe pas 250 secteurs mais moins , mais en y repensant , les secteurs ont des angles de 0,18° , on me dit que je ne dois pas toucher le centre , mais je peux faire un angle de 0,00001° et donc ne plus le toucher je ne sais pas si vous m'avez compris , en gros on a toujours 250 secteurs , donc finalement : 499 + 250 + 250 + 2 ( les deux " axes " ) = 1001

Pour le 20 , j'ai réussi grâce à vous mais je n'ai pas compris ce point ; puis poser que a > b (toujours possible d'appeler a le plus grand) et résoudre pour b>= 4.
Vous faites les valeurs une par une ? Ou vous travaillez dans une inégalité ? Je veux dire vous posez B = 5 alors a = ... , ou vous faites une inégalité ? De toute façon on était pas obligé d'essayer puisque on trouve 4 couples très vite , et en essayant avec 5 on se rend compte que les a ne sont plus naturels. Mais est ce le cas pour tout les a et b restants ? Bonne question

Merci tiruxa pour votre explication , ça fonctionnerait mais malheureusement la réponse est A : 4 car dans l'énoncé on parle de couple de naturel , alors que dans votre explication on parle d'une infinité de couple réelle , mais je n'avais pas penser comme ça c'est très interressant , et ça pourra peut être m'aider cette année , merci beaucoup :D

Il ne reste plus que la 7 , où je bloque quand même depuis un moment alors que c'est une question 7 , je mettrais + d'exercice demain , merci beaucoup en tout cas

Réponse : Petit problème 2 de puente17, postée le 07-01-2017 à 11:09:05 (S | E)
Bonjour,
Une fois que l'on a calculé l'aire des deux triangles ne peut-on pas enlever l'aire du secteur circulaire qui est de trop?

Réponse : Petit problème 2 de puente17, postée le 07-01-2017 à 14:07:11 (S | E)
Re-bonjour.

Si a = b alors S1 = {(4,4)}, on n'est bien d'accord?
Si a et b sont différents on peut appeler b le plus petit, il suffira ensuite d'intervertir.
• Si a >b >= 4 alors S2 = vide (pourquoi?)
• Si b = 3 alors S3 = {(6, 3); (3, 6)} en intervertisssant a et b.(pourquoi?)
• Si b = 2 alors S4 = vide (pourquoi?)
• Si b = 1 alors S5 = vide (pourquoi?)
donc S = {(4,4); (3, 6); (6, 3)} ???
Ah, Ok! je raisonnais géométrie et j'avais oublié le zéro (remarque: il me semble que chez les anglo-saxons le 0, n'est pas un entier naturel, c'est notre N*, d'ailleurs si on lit son histoire il n'est pas franchement naturel. Enfin bref (0,0) est celui qui m'a posé le plus de difficultés car ça ne passe pas bien comme longueur ou superficie .

Réponse : Petit problème 2 de tiruxa, postée le 07-01-2017 à 15:53:54 (S | E)
Bonjour,

Désolé en effet j'avais lu en diagonale ce qui n'est jamais bon

Pour le 7, sans te donner la méthode, pour les calculs d'aires on ajoute ou (et) on retranche certaines aires de la figure.

Certaines aires sont à connaitre, pour les triangles le triangle équilatéral en est un exemple
C'est (côté * hauteur /2 sachant que la hauteur vaut côté * racine(3)/2)

Pour les secteurs circulaires il faut faire une règle de trois en se servant des angles au centre
l'aire totale du disque est bien sûr pi*r² pour un angle de 360° donc pour un angle au centre de x° l'aire sera :.....

Réponse : Petit problème 2 de netm, postée le 08-01-2017 à 00:46:35 (S | E)
Merci beaucoup Donc je fais :

le rayon = 3 , la droite reliant le cent à l'angle de 60° vaut 2V3 ( j'ai fais sin60° = 3/x) => x= 2V3
Alors le côté du haut vaut par pythagore V3
L'aire du grand triangle vaut : 2 . L.l/2
= 3.V3

L'aire du secteur : je l'appelle alpha , je dis que l'angle de 60° et alpha intercèpte le même arc , donc alpha vaut 120°
Si pour 360° l'aire vaut pi.r² alors pour 120 elle doit valoir pi.r².1/3 donc 9.pi.1/3 = 3pi

Alors la surface vaut = Aire du grand triangle - Aire secteur soit :

3V3-3pi = 3.(V3-pi ) mais en me relisant je me rend compte que j'ai utilisé sin 60° alors que non , le petit triangle n'a pas un angle de 60° , l'angle vaut 30° car les deux triangles sont isométrique .

Donc je refais : x = 3/sin30 = 6
Par pythagore y = 3V3 , l'aire du grand triangle vaut alors 9V3

Donc la surface demandé vaut bien : 9V3 - 3 pi ( réponse B ) Merci beaucoup

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