Optimisation - Problème

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Optimisation - Problème
Message de roustaf posté le 25-03-2018 à 12:30:17 (S | E | F)
Bon dimanche à toutes et à tous,

Je suis confronté à un problème d'optimisation auquel je ne peux pas trouver une réponse ou un bon cheminement.
J'ai essayé de le résoudre à l'aide des triangles semblables ou de Pythagore mais sans succès.

Je vous remercie de l'aide ou des explications que vous apporterez à ma requête,
(Excusez-moi pour la qualité de l'image, mon logiciel pour faire des captures d'écran ne fonctionne plus)

Cordialement,

Roustaf

Lien internet

"Une entreprise aimerait construire un hangar rectangulaire de la plus grande taille possible sur un terrain de forme triangle carré."

La consigne est de trouver pour les deux triangles A et B:

1) L'aire maximale que l'on peut atteindre si le hangar peut atteindre la limite du terrain?
2) L'aire maximale que l'on peut atteindre si le hangar doit respecter une limite de 3m avec la limite du terrain?

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Modifié par roustaf le 25-03-2018 12:31

Réponse : Optimisation - Problème de puente17, postée le 25-03-2018 à 14:00:11 (S | E)
Bonjour,

Savoir qu'il s'agit d'un triangle (3,4,5) aide beaucoup aux calculs.
Dans le premier dessin:
en plaçant un repère convenable on obtient pour les côtés du rectangle x et y = (3/4) (80-x)
ce qui permet d'étudier l'aire du rectangle par l'étude de la fonction: S(x) = (3/4)x(80-x)=(3/4)(80x-x²)

dans le deuxième cas:
dans le même repère et la même variable x, grâce au triangle (3,4,5) et en utilisant la proportionnalité de tous les triangles on peut en déduire la valeur des côtés du rectangle, à savoir:
(80-x) (3/5) et (5/4) x = rac(((3/4) x)²+x²)
Là aussi vous obtenez une aire S1(x) que vous étudiez pour déterminer le maximum.

Pourle 2) il suffit de ce placer dans le triangle obtenu en enlevant une bande de 3m sur les 3 côtés du triangle initial.

Sauf erreur de ma part vous devriez arriver au triangle rectangle dont les 2 côtés de l'angle droit sont 72 et 53+1/4, bien entendu proportionnel à tous les autres.

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 29-03-2018 à 00:13:36 (S | E)
Bonsoir à tous

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 29-03-2018 à 19:17:05 (S | E)
Pour la Q2 ,certes,il y a toute une sorte de gymnastique de calcul à faire en plus de quelques manipulations en compétences et en formules .C'est ce qui m'a conduit à obtenir des résultats différents de ceux obtenus par puente concernant les longueurs des deux cotés de l'angle droit du triangle O'B'C' soient 51m et 68m au lieu de (53+1/4 )m et 72m. En voici ,en ce qui suit ci-dessous ma méthode :

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 29-03-2018 à 19:58:46 (S | E)
1)Détermination des coordonnées de B' point d'intersection de (D) et (O'B'):   (D) étant parallèle à (BC) qui a pour équation y=(-3/4)*x+60 d'une part et d'autre part (D) passe par B"(75;0) ,il en résulte que (D) a pour équation y=(-3/4)*x+56,25 .En résolvant le système des deux équations y=(-3/4)*x+56,25 et y=3 ,on obtient les coordonnées de B'(71;3) .Autrement dit l'abscisse de B' est 71m et en conséquence O'B'=71-3=68m (qui n'est autre que la longueur du coté de l'angle droit du triangle O'B'C' que nous cherchons.

2)Détermination des coordonnées de C' point d'intersection de (D) et (O'C'):   En appliquant le même raisonnement que précédemment ,en résolvant cette fois le système y=(-3/4)*x+56,25 et x=3 ,on trouve le couple de solution unique (3;54) qui n'est autre que les coordonnées de C' . Autrement dit , la longueur O'C'=54-3=51m et qui représente la longueur du second coté de l'angle droit du triangle O'B'C' que nous cherchons .

Bien cordialement et fort amicalement .Merci à tous .

Réponse : Optimisation - Problème de stefavy, postée le 30-03-2018 à 05:17:14 (S | E)
Bonjour,
wab51, comment sait-on que la droite D passe par le point B'' de coordonnées (75,0)?

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 30-03-2018 à 14:07:23 (S | E)
*Très bonne question . (OH) et (OH') hauteurs respectives sur [CB] et (D) . 1) Coordonnées de H ?  H intersection de (OH) et (BC) .Résoudre le système y=(4/3)*x et y=(-4/3)*x+60 d'ou x=28,8 et y==38,4 : H(28,8;38,4) .  OH²=x²+y²=(28;8)²+(38,4)²=2304 , d'ou OH=48 m et OH'=48-3=45m*Application du théorème de Thales : OH/OH' =OB/OB" soit OB"=(45*80)/48=75m .Merci

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 30-03-2018 à 15:35:50 (S | E)
*Autre méthode pour trouver la longueur OH.
Appliquer la formule " dans un triangle rectangle ,le produit des cotés de l'angle droit est égal au produit de l’hypoténuse par la hauteur issue du sommet de l'angle droit" : ce qui ce traduit par 80*60=100*OH d'ou OH=48 m . Pour OH'? On sait que OH'=OH-3 (O,H,H' alignés) soit OH'=45 m .

Réponse : Optimisation - Problème de stefavy, postée le 31-03-2018 à 03:43:16 (S | E)
Merci beaucoup wab51.
Je préfère la 2ème méthode, elle est plus simple et plus rapide.
La première est assez technique et je crois qu'il y a une petite erreur de frappe concernant l'équation de (BC) : y=(-3/4)x+60 et non y=(-4/3)x+60
Merci encore

Réponse : Optimisation - Problème de fischerf, postée le 31-03-2018 à 11:14:11 (S | E)
Et alors on reçoit pour les longueurs des côtés du rectangle
a=42.455 et b=20.379

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 31-03-2018 à 19:14:35 (S | E)
*Exact.Les dimensions du hangar rectangulaire MNPQ sont MN=QP=20,4m et MQ=NP=42,5m . et à tous .

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Modifié par wab51 le 31-03-2018 23:12

Réponse : Optimisation - Problème de fischerf, postée le 01-04-2018 à 09:34:24 (S | E)
Vous avez raison, ce sont les mesures exactes. En matière de ma solution je voudrais
mentionner que la petite différence est attribuée à une petite erreur d'arrondissement.

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 02-04-2018 à 14:22:32 (S | E)
Bonjour à tous
Permettez-moi ,tout en sentant ce problème pertinent et intéressant ,j'ai pensé faire profiter les lecteurs d'une autre méthode de résolution à la question 2 ,en étudiant S(x) l'aire du rectangle MNPQ inscrit dans le triangle rectangle OB'C' à partir de l'étude d'une fonction S(x) sans penser à passer par chercher à calculer les dimensions de MNPQ pour ensuite déduire l'aire maximale demander ,comme cela a été fait précédemment.Je trouve cette nouvelle méthode plus adéquate et répond précisément à la question .
Pour cela ,et pour permettre de bien suivre le raisonnement ,j'affiche d'abord la figure géométrique ci-dessous .

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 02-04-2018 à 14:23:40 (S | E)

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 02-04-2018 à 14:56:47 (S | E)
En voici la méthode :
En posant OM=x et MN=y .
1) sin(α)=OC'/B'C'=MN/MB'=MN/(68-x)=51/85/0.6 d'où MN=0.6(68-x)
2) cos(α)=0B'/B'C'=68/85=0.8=x/MQ d'où MQ=x/0,8
3)Exprimons S(x),l'aire du rectangle MNPQ en fonction de x ,sachant que S(x)=MN*MQ ?
S(x)=0,6(68-x)*x/0,8 soit S(x)=(3/4)*x*(68-x) ou encore S(x)=(3/4)*(-x²+68x) équation du second degré en x .
4) Valeur de x? pour laquelle la dérivée S'(x)=0
S'(x)=0 soit (3/4)*(-2x+68)=0 pour x=34 .Donc l'aire maximale est atteint pour x=34 .Il suffit de remplacer x=34 dans S(x) pour trouver l'aire maximale du rectangle MNPQ ,soit S(MAX)=S(34)=(3/4)*34*(68-34)=3*17*17=867m² .Merci et très bonne journée à tous

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 02-04-2018 à 16:05:09 (S | E)
Enfin et pour terminer ,la courbe représentative de la fonction S(x) =Aire du rectangle MNPQ en fonction de x tel que x appartient à l'intervalle [0;68]

Réponse : Optimisation - Problème de puente17, postée le 03-04-2018 à 16:22:35 (S | E)
Bonjour,
Pourquoi ne pas avoir envisagé le cas où le hangar a deux de ses côtés sur les petits côtés de l'angle droit du terrain? et en appelant M Le 'coin' du hangar se trouvant sur [B', C'] (sommet oposé à O pour le rectangle. C'est l'un des cas qui était demandé d'envisager dans le texte d'origine si on se reporte au lien internet.
On obtient:x et 3(68-x)/4 pour la mesure des côtés du hangar
S(x) = 51x - (3/4)x² ce qui ce fait très vite sachant que l'on a à faire à des triangles (3,4,5)
max obtenu pour x = 102/3 et il vaut 867
Je n'ai pas pris le temps de vérifier les calculs et ça me parait bizarre que l'on obtienne le même résultat dans 2 configurations, mais bon...

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 04-04-2018 à 01:16:23 (S | E)
Bonsoir puente
Je ne suis pas de votre avis .L'observation et la lecture des deux figures d'origine à travers le lien internet peuvent aussi laisser supposer que ce dessin représente le cas de figures uniquement de la 1ère Question où il faut distinguer séparément deux cas :
Q-1) Q-1a) les deux cotés adjacents à l'angle du hangar sont sur la limite du terrain de forme triangulaire carré .(FIG 1)
Q-1b) l'un des cotés du hangar est parallèle à l’hypoténuse et ses quatre sommets sont situés sur la limite du terrain triangulaire (FIG 2)
Résultat évidemment confirmé par l'observation du dessin "étant donné que les deux dimensions 60 m et 80 m du triangle n'ont pas changées ,automatiquement le triangle n'a pas changé ,il est identique au 1er .
De meme ,pour la seconde question et avec la meme supposition ,nous serons ramener à envisager deux cas comme précédemment (FIG 3) et (FIG 4) .
Cas automatiquement à rejeter puisque le dessin d'origine ne montre pas ce cas de figures .
Autrement dit et si c'était le cas ,l'énoncé serait là comme juste témoin de quatre questions (ou quarte figures) et non pas deux questions . Et en raison de plus ,étant donné qu'on ne demandait que "l'aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle et quelque soit le cas considéré ,le résultat de l'aire maximale S(max)serait le meme quelque soit aussi la méthode dont voici l'énoncé du principe de ce résultat :
"Deux sommets du rectangle inscrit sont les milieux respectifs des deux cotés adjacents de l'angle droit du triangle rectangle " ,autrement dit "la droite des milieux ".
Enfin et pour conclure :Pour donner une forte consistance au problème et afin d'éviter la répétition de la méthode et du raisonnement pour n'aboutir en fin de compte qu'à deux résultats différents et raisonnables ,la condition nécessaire et suffisante se résume à deux questions comme cela fut déjà précisé par l'énoncé lui-même .
1)Une question Q-1) telle qu'elle fut donnée FIG 1) 2)Une question Q-2)telle qu'elle fit donnéevoir FIG 4).Bien cordialement

Réponse : Optimisation - Problème de wab51, postée le 04-04-2018 à 11:06:47 (S | E)
1) FIG 1 et FIG 2 : S(max) = 1200 m²

2) FIG 3 et FIG 4 : S(max) = 867 m²

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