Les puissances

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Les puissances
Message de corentin18 posté le 02-11-2019 à 10:51:26 (S | E | F)
Bonjour pourriez vous m'aidez sur un exercice que je ne comprend pas?

SUJET:
1) effectuez les calculs suivants.

a)98^2-97^2-96^2+95^2
b)56^2-55^2-54^2+53^2

2)Quelle conjecture peut on faire ?
3)Démontrer ou invalider cette conjecture.

Ps: ^ = puissance

Merci de m'aider !

Réponse : Les puissances de wab51, postée le 02-11-2019 à 13:23:03 (S | E)
Bonjour
1)Remarquer que les termes de chacune des deux sommes données représentent des carrés de nombres entiers successifs décroissants de 98,97,96,95 pour la 1ère série et 56,55,54,53 pour la seconde.
2)Voir que la différence de deux carrés de deux entiers x et son précédent (x-1) est x²-(x-1)² peut s'écrire sous la forme x+(x-1) car :
x²-(x-1)²=x²-(x²-2x+1)=x²-x²+2x-1=2x-1=x+x-1=x+(x-1)donc x²-(x-1)²=x+(x-1) ce qui revient simplement identiquement à faire leur somme .
3)Appliquer cette règle en pensant à voir que -96²+95²=-(96²-95²) .
Je pense vous avoir mis sur la bonne route avec ses indications .A vous maintenant et montrer nous vos résultats étape par étape .
(la suite de la Q-2) viendra après).Bonne chance

Réponse : Les puissances de corentin18, postée le 02-11-2019 à 15:22:25 (S | E)
Jai calculer et les 2 calculs me donnent comme redulats 4.

Réponse : Les puissances de wab51, postée le 02-11-2019 à 16:26:29 (S | E)
Effectivement par le calcul ,le résultat est 4.Mais voulez-vous bien nous montrer votre démarche détaillée étape par étape de ce résultat.Elle vous aidera à voir comment répondre à quelle conjecture peut on faire ? de la q-2) et bien sûr à la démonstration de cette conjoncture à Q-3) en posant x=nombre entier naturel avec x˃3 et P=x²-(x-1)²-(x-2)²+(x-3)² .Bonne continuation.

Réponse : Les puissances de corentin18, postée le 02-11-2019 à 17:16:17 (S | E)
Pourrais tu me le rediger pour que je comprenne un peu mieux ca maiderait vraiment 👍

Réponse : Les puissances de wab51, postée le 02-11-2019 à 19:00:36 (S | E)
Vous n'aviez pas répondu à ma question:comment aviez-vous fait pour trouver 4?

Réponse : Les puissances de corentin18, postée le 02-11-2019 à 19:18:05 (S | E)
Jai taper les 2 calculs a la calculatrice

Réponse : Les puissances de wab51, postée le 02-11-2019 à 19:44:36 (S | E)
On peut utiliser à la limite la calculatrice mais uniquement et arbitrairement pour vérifier le résultat obtenu préalablement par la méthode.Là,évidemment ,il n'y a pas de problème et pour personne.Tout le monde le sait le faire avec la calculatrice,vous le savez bien.
Je vous ai présenté une méthode de travail dans mon 1er message suivi d'une explication.appliquez -là simplement.

Réponse : Les puissances de wab51, postée le 02-11-2019 à 21:44:06 (S | E)
Je vous invite passionnément à bien lire et comprendre le support d'orientation expliqué et démontré cité dans le 2) de mon 1er message dont je rappelle le résultat x² - (x-1)²=x+(x-1) ce qui se traduit par l'énoncé de la règle :"la différence des carrés d'un entier x et de son prédécesseur (x-1) est égale à leur somme x+(x-1)" ,voici un exemple d'application:Si x=98 alors son prédécesseur (x-1)=97 d'où 98²-97²=98+97(pour retenir la règle l'astuce :voir et dire simplement la suppression des carrés ²dans le second membre)
2)Appliquer la meme règle pour 96²-95²=?
3)Réécrire la somme 98²-97²-96²+95²=(98²-97²)-(96²-95²) sous la nouvelle forme en portant les deux résultats précédents .
Répondez étape par étape pour voir le résultat obtenu pour pouvoir envisager la suite.Bon travail et bonne chance

Réponse : Les puissances de pirouette, postée le 02-11-2019 à 21:52:39 (S | E)
Bonjour,

j'ai utilisé l'identité remarquable (a + b) (a - b) = a² - b² dans ce sens : a² - b² = (a + b) (a - b)
Je te livre ce que j'ai vu à la question 1) ... utile pour la fin de l'exercice, une méthode parmi d'autres, différente de celle de wab51.

1) a) Je sépare les pairs et les impairs, je traite à part 98 avec 96 et 97 avec 95.
Je récupère l'impair entre les pairs.
98² - 96² = (97 + 1)² - (97 - 1)²
Je note a = (97 + 1) et b = (97 - 1)
Du coup (a + b) (a - b) = (97 + 97) (1 + 1) = 4 x 97
Ainsi, 98² - 96² = 4 x 97

Même démarche pour 97² - 95²
Je récupère le nombre pair entre les impairs ...

Je rassemble ensuite :
(98² - 96²) - (97² - 95²) = (4 x 97) - (4 x 96) = 4 (97 - 96) = 4 x 1

b) Je recommence en séparant les pairs et les impairs ...
56² - 54² = ... et je me sers du 55 (impair entre les pairs)
55² - 53² = ... et je me sers du 54 (pair entre les impairs)
Je rassemble (56² - 54²) - (55² - 53²)

2) Je devine la stabilité du résultat suite à mes observations à la question 1)

3) Un tuyau :
Le nombre intermédiaire 54 est inférieur au nombre intermédiaire 55 de 1.
Le nombre intermédiaire 96 est inférieur au nombre intermédiaire 97 de 1.
Si 55 = X, l'autre nombre est X - 1
Si 97 = X, l'autre nombre est X - 1

Je te laisse généraliser si tu as compris.

corentin18, si tu cherches à comprendre un peu mieux chaque fois que tu te trouves face à la correction rédigée, BRAVO, tu vas faire de grands progrès en maths, grâce aux corrigés de ton prof.

Pour ceux qui cherchent juste du drive sur internet afin d'obtenir leurs exercices corrigés et rédigés par autrui, ils couleront à pic en maths.
Ils repenseront à moi le jour de leur interro écrite. Ils auront tout le temps ... devant leur copie vide, lol.
Une définition de service drive : abréviation de drive-in. Service permettant de retirer une commande tout en restant à bord de son véhicule.

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Modifié par pirouette le 02-11-2019 22:05

Réponse : Les puissances de puente17, postée le 05-11-2019 à 11:16:17 (S | E)
Bonjour,
remplacer 97 par x
donc 98 = x+1, 96 = x-?, 95 = x-?
effectuer les calculs avec les notations précédentes
donc:
(x+1)²-x²-(x-?)²+ (x-?)²= ?
vous devez en conclure que le résultat est ? et ceci quelque soit x.
ce qui résoud l'ensemble du problème il me semble.

Réponse : Les puissances de tiruxa, postée le 05-11-2019 à 17:25:05 (S | E)
Bonjour,

Pour rebondir sur la proposition de Puente17, on peut faire plus symétrique :

Soit x, a et b trois réeels, si on développe :

(x+a)²-(x+b)²-(x-b)²+(x-a)²

Les x² s'éliminent, les doubles produits 2ax et 2bx aussi, il reste donc a²-b²-b²+a² ou encore 2(a²-b²).

Il n'est pas très difficile de trouver les valeurs décimales de x, a et b pour obtenir les calculs demandés.
De plus, on voit que le résultat est indépendant de x.

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