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Encadrement-Aide

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Encadrement-Aide
Message de perfect posté le 01-12-2019 à 11:06:18 (S | E | F)
Bonjour,

Un peu d'aide sur cet exercice qui n'en finit pas
Alors, consigne : Soit x un réel tel que 3<x<5 Encadrer les réels suivants :

1)-3x+2
-9>3x>-15 (Inversion des signes, multiplication par un nombre négatif
-9+2>3x+2>-15+2
-7>3x+2>-13

2)x²-5²+1
3²<x²<5² Ici je ne suis pas sûr, x est positif puisqu'il est au carré,non même si on ne connait le signe de x, non ?
-5*3²>-5*x²>-5*5²
-5*3²+1>-5*x²+1>-5*5²+1
-44>-5*x²+1>-124

3)1/(x-2) Là je n'y arrive pas, le x me suit partout !
3/(x-2)<1/(x-2)<5/(x-2) Ici pas d'inversion de signe puisque la fraction est positive, puisque le dénominateur est positif (x est compris en 3 et 5) donc x-2 est forcément positif

4)2-((x+1)/(x-1)) Là je n'y arrive pas

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement,
perfect


Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 01-12-2019 à 15:35:44 (S | E)
Bonjour
1)f(x)=-3x+2
3<x<5 ↔-9>3x>-15 (Inversion des signes, multiplication par un nombre négatif
-9+2>3x+2>-15+2
-7>3x+2>-13 (juste)

2)f(x)=x²-5²+1 ↔ f(x)=x²-24 (simplifier l'écriture)
3<x<5 ↔ 3²<x²<5² Ici je ne suis pas sûr, x est positif puisqu'il est au carré,non même si on ne connait le signe de x, non ?
explication:les trois nombres sont positifs et la fonction carrée f(x)=x² est positive croissante dans R+
-5*3²>-5*x²>-5*5² (la fonction donnée est bien f(x)=x²-5²+1 et non pas f(x)=-5.x²+1.N'est ce pas sinon c'est une faute d'écriture?.Revérifier bien votre fonction
-5*3²+1>-5*x²+1>-5*5²+1 (juste si la fonction donnée est f(x)=-5x²+1)
-44>-5*x²+1>-124 (juste si la fonction donnée est f(x)=-5x²+1[/bleu.

3)f(x)=1/(x-2) Là je n'y arrive pas, le x me suit partout !
3/(x-2)<1/(x-2)<5/(x-2) Ici pas d'inversion de signe puisque la fraction est positive, puisque le dénominateur est positif (x est compris en 3 et 5) donc x-2 est forcément positif.mais son inverse 1/(x-2) est est aussi positive mais décroissant pour 3<x<5.
Appliquer le meme raisonnement que dans 1) et 2) ,en partant de 3<x<5 et en utilisant en plus la propriété de l'inverse en inversant les sens de la double inégalité


4) f(x)==2-((x+1)/(x+1)) Là je n'y arrive pas
a)simplifier l'écriture de f(x) en réduisant au meme dénominateur.Puis appliquer les règles précédentes .Montrez-nous et on verra !
Bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de perfect, postée le 01-12-2019 à 16:34:05 (S | E)
Bonjour,

Merci pour votre aide !
Alors pour la 2) en effet, c'est la bonne fonction x²-5²+1, mais j'appliqué les calculs pour l'autre fonction, donc je reprends :

2)f(x)=x²*-5²+1=x²-24
3²<x<25
9-24<x²-24<25-24
-15<x²-24<1

3)f(x)=1/(x-2)
3/(x-2)>1/(x-2)>5/(x-2)
Je ne vois pas la suite

4) f(x)=2-((x+1)/(x-1))=(2(x-1))/(x-1)-((x+1)/(x-1)= (2x-2-x+1)/(x-1)= (x-1)/(x-1) (simplificatin)=1/1=1 Donc là il suffit de multiplier par 1 ?
Donc 3<x<5 (ça change pas )

Est-ce correct ?
Cordialement,
perfect




Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 01-12-2019 à 20:12:50 (S | E)
Oui-pour les résultats de la Q-1 et la Q-2)
3)f(x)=1/(x-2)
3/(x-2)>1/(x-2)>5/(x-2)
Je ne vois pas la suite (parce que vous n'aviez pas appliquer la piste que je vous avais donné-pas grave)
a)Comme les réponses précédentes ,chercher d'abord un encadrement de (x-2) pus déduire l'encadrement de son inverse 1/(x-2) .Là attention au sens des inégalités .


4) f(x)=2-((x+1)/(x-1))=(2(x-1))/(x-1)-((x+1)/(x-1)= (2x-2-x+erreur de signe1)/(x-1)= (x-1)/(x-1) (simplificatin)=1/1=1 Donc là il suffit de multiplier par 1 ?non malheureusement)
Donc 3<x<5 (ça change pas car résultat faux)
a)Corriger l'erreur de signe ,c'est -1 et non +1.Soit donc f(x)=(x-3)/(x-1).Déterminer un encadrement de (x-3), puis celui de (x-1) puis déduire encadrement de son inverse 1/(x-1) et enfin déduire l'encadrement de f(x)?
Poster votre travail en détails.Bonne continuation et bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de wab51, postée le 02-12-2019 à 19:18:57 (S | E)
Tout juste,pour vous dire "n'hésitez donc toujours pas à envoyer vos résultats de la Q-3) et la Q-4) .Mais surtout,je voulais attirer votre attention un peu sur la détermination de l'encadrement de la Q-4) .Bien sûr,les recommandations précédentes restent toujours valables mais on pourrait peut-être aller plus loin avec une autre méthode relative à l'étude de la fonction donnée pour aboutir à un encadrement encore plus meilleur .Bon courage



Réponse : Encadrement-Aide de tiruxa, postée le 04-12-2019 à 15:55:24 (S | E)
Bonjour,


Juste une remarque au sujet des encadrements de quotients, comme par exemple (x-3)/(x-1) avec x tel que 2<x<5

Si l'on procède en encadrant (x-3) puis (x-1) puis son inverse puis le produit des deux membre à membre... on a quelques difficultés :

En effet on a -1<x-3<2

puis 1<x-1<4 donc 1/4 < 1/(x-1) < 1

Mais là on ne peut pas multiplier membre à membre car dans le premier encadrement -1 est négatif.

Ok on pourrait envisager deux cas d'une part x-3 négatif puis x-3 positif mais c'est laborieux...

Le mieux est de transformer le quotient de départ pour que la variable x n'y figure qu'une seule fois.

On écrit (x-3)/(x-1)= (x-1-2)/(x-1)=(x-1)/(x-1)-2/(x-1)= 1 -2/(x-1).

Si on reprend, on a vu que 1/4 < 1/(x-1) < 1

donc en multipliant par -2 , -2 < -2/(x-1) < -1/2

et en ajoutant 1 , -1 <1 -2/(x-1) < 1/2.

On obtient de plus le meilleur encadrement possible.




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