Calculs casse-tête

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Calculs casse-tête
Message de invisible7 posté le 28-03-2022 à 06:04:26 (S | E | F)
Aidez moi à trouver la solution à ces calculs

1. Calculer : 66 × 67 ; 666 × 667.
Donner le résultat du produit : 6666666666666 × 6666666666667.
2. Calculer : 666 × 67 ; 6666 × 667.
Donner le résultat du produit : 6666666666666 × 666666666667.
3. Calculer : 6666666666666666 × 6666667

Réponse : Calculs casse-tête de tiruxa, postée le 28-03-2022 à 11:29:17 (S | E)
Bonjour

Pour le 1)

Calculons a=66...6 (n chiffres 6) par a'=66...7 (n chiffres en tout)

a=2*b avec b =33...3 (n chiffres 3)

et a'= 3c+1 avec c = 22...2 (n chiffres 2)

aa'= 2b*(3c+1)=2c*3b+2b

Or 3b=99...9 (n chiffres 9)
donc 3b=10^n-1

donc aa'=2c(10^n-1)+2b=2c*10^n-2c+2b=2c*10^n+2(b-c)

Or 2c=44...4 (n chiffres 6) donc 2c*10^n=44...400...0 (n chiffres 4 suivis de n zéros)
et 2(b-c)=22...2 (n chiffres 2)

finalement aa'=44...422...2 (n chiffres 4 suivis de n chiffres 2)

Réponse : Calculs casse-tête de tiruxa, postée le 28-03-2022 à 14:17:35 (S | E)
Pour le 2), même chose avec de petits ajustements pour les nombres a' et c.

Calculons a=66...6 (n chiffres 6) par a'=66...7 (n-1 chiffres en tout)

a=2*b avec b =33...3 (n chiffres 3)

et a'= 3c+1 avec c = 22...2 (n-1 chiffres 2)

aa'= 2b*(3c+1)=2c*3b+2b

Or 3b=99...9 (n chiffres 9)
donc 3b=10^n-1

donc aa'=2c(10^n-1)+2b=2c*10^n-2c+2b=2c*10^n+2(b-c)

Or 2c=44...4 (n-1 chiffres 6) donc 2c*10^n=44...400...0 (n-1 chiffres 4 suivis de n zéros)
et 2(b-c)=62...2 (n-1 chiffres 2)

finalement aa'=44...4622...2 (n-1 chiffres 4 suivis de 6 et de n-1 chiffres 2)

Je vous laisse faire le 3

Réponse : Calculs casse-tête de wab51, postée le 30-03-2022 à 15:18:44 (S | E)
Bonjour
Vraiment rien à dire ,félicitations et bravo tiruxa . Si vous le permettez ,voici un autre chemin de raisonnement .
Pour le cas de la situation de la 1ère question : " produit de deux entiers consécutifs " dont
-a) le 1er facteur est un nombre construit uniquement avec le seul chiffre " 6 " et le second facteur qui est son successeur a pour chiffre d'unité " 7 " :
6x7; 66x67;666x667;...;6666666666666x6666666666667
*Sur la base d'un raisonnement inductif en partant des résultats de chacun des trois premiers produits (calcul fait facilement à la main ) :
6x7=42 ; 66x67=4422 ; 666x667=444222 on observe que leur produit est construit d'un nbre de fois le chiffre 4 égal au nbre de fois le nbre de chiffres du 1er facteur suivi d'un meme nbre de fois de chiffres 2 et plus le nombre total des chiffres qui compose ce produit est égale à la somme du nombre de chiffres du 1er facteur et du 2e facteur (2,4,6,...,2p) .
Sur ce principe logique ,on peut donc en tirer aisément le résultat immédiat de n'importe quel produit de deux nombres consécutifs répondant aux conditions et aussi grands soient ils sans avoir à effectuer le moindre calcul . Ainsi soit il pour le cas demandé dont voici le résultat:
6666666666666 x 6666666666667 = 4444444444444 x 2222222222222 .
*** On peut répondre aux deux autre questions de l'exercice avec un processus de raisonnement inductif . Merci

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