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[Math] Rings and things. (vocab. fr-an)
Message de TravisKidd posté le 27-02-2007 à 17:05:57 (S | E | F | I)

So that you can give me good French translations of certain abstract mathematical concepts, I will define them more precisely. (It is to be assumed that all operations are closed, that is, if I say that a set S has an operation, then ab is in S for all a,b in S.)

Group - A group is a set G with an operation such that:
1) The associative property holds: (ab)c = a(bc) for all a,b,c in G.
2) There exists an identity element e in G such that ae = ea = a for all a in G
3) Every element is invertible, that is, for every a in G there exists b in G such that ab = ba = e.
*) If the operation is commutative, that is, if ab = ba for all a,b in G, then the group is called "commutative" or "Abelian".

Ring - A ring is a set R with two operations (typically called addition and multiplication, although they are not required to be anything like the ordinary addition and multiplication of real numbers), such that
1) R is an Abelian group under addition whose identity element is called "0".
2) Multiplication is associative
3) The distributive property holds, that is, a(b+c) = ab + ac and (b+c)a = ba + ca for all a,b,c in R.
*) There is some ambiguity whether the definition of "ring" includes a multiplicative identity, typically called "1". If not, then the term "unitary ring" is used to denote the existence of "1".
**) If multiplaction is commutative, then the ring is called a "commutative ring".

Integral Domain - An integral domain is a commutative ring in which a product being 0 implies that one of the factors is 0. Z (the set of integers) under ordinary addition and multiplication is an integral domain. Z6, however is not, because while neither 2 nor 3 are 0, we have 2x3 = 0. A notable property of integral domains is the cancellation property, that is, if a is not 0, then ab = ac implies b = c for all a,b,c. This does NOT imply, however, that a is invertible.

Field - A field is a ring whose non-zero elements form an Abelian group under multiplication. Or put another way, a field is a non-trivial commutative ring in which every non-zero element "a" has a multiplicative inverse, denoted a-1. The two most well-known fields are Q (the rational numbers) and R (the real numbers) under ordinary addition and multiplication.

Now, please translate these terms into French, and also give me an English translation of "corps" if it is not one of these.

P.S. I've named this topic "Rings and things" after my favorite fast-food dish, called "Wings and Things" and served at a restaurant called Zaxby's, consisting of chicken fingers, french fries, and "buffalo" (actually chicken) wings with sauce that is as spicy-hot as you wish ... me, I choose "insane"!!

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Modifié par webmaster le 17-03-2007 20:34


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de TravisKidd, postée le 27-02-2007 à 17:46:57 (S | E)
Ah, here we go! Maybe this is what is meant by "corps" in French?

Division Ring - A division ring or skew field is a nontrivial ring in which every non-zero element has a multiplicative inverse. Unlike fields, division rings need not be commutative (under multiplication). The most notable division ring is the quaternions.

A field is then simply a commutative division ring. If "corps" means "division ring", then you could say that a field is a "corps commutatif", but is there not a single word for it (such as "champ")?


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de marie11, postée le 27-02-2007 à 19:29:39 (S | E)
Bonjour travis.

Je pense que tu veux la traduction des deux structures.

I- Groupe: (G,*)

Un groupe est un ensemble d'éléments G muni d'une opération * qui vérifie les propriétés suivantes :

1- Associativité :
Pour tout triplet (a,b,c) de G³ on a : (a*b)*c = a*(b*c).

2- Élément neutre.
Il existe un unique élément de G noté e , tel que pour tout élément a de G on ait: e*a = a*e = a.
e est appelé élément neutre du groupe.

3- Inverse.
Tout élément de G possède un inverse. Cela signifie que pour tout élément a de G il existe un élément a' de G tel que : a*a' = a'*a = e.

Si l'opération * est commutative (pour tout couple (a,b) de G² a*b =b*a),
alors le groupe est dit commutatif ou abélien.


II- Anneau : (A,+,x)

Un anneau est un ensemble d'éléments A muni de deux opérations + ; x (*) qui vérifient les propriétés suivantes :

1- (A ,+) est un goupe abélien, dont l'élément neutre est noté 0
2- L'opération x est associative.
3- L'opération x est distributive sur l'opération +.
Cela signifie que pour tout triplet (a,b,c) de A³ a x (b + c)= a x b + a x et (b + c) x a = b x a + c x a.
4- (A,+,x) est appelé anneau unitaire s'il existe dans A un élément neutre pour l'opération x. Cet élément est conventionnellement noté 1.
5- Si l'opération x est commutative alors l'anneau est appelé anneau commutatif.

(*) Ne pas confondre ces opérations avec l'addition et la multiplication classiques. Ce sont simplement des notations pratiques;

III- Anneau intègre ou domaine d'intègrité.

On appelle anneau intègre un anneau commutatif tel que :
pour tout couple (a,b) de A² a x b = 0 ==> a = 0 ou b = 0
(autrement dit: si un produit de facteurs est nul l'un au moins des facteurs est nul).
Par exemple l'ensemble Z des entiers relatifs Z(+,x) est un anneau intègre.

IV - Corps. (K,+,x)

On appelle corps un ensemble d'éléments K muni de deux opérations notées + et x
telles que :

1- (K,+,x) est un anneau unitaire.
2- Tout élément de K* = K - (0) admet un inverse pour x

Cela équivaut à :
1- (K,+,x) est un anneau unitaire.
2- (K*,x) est un groupe.

Si x est commutative alors le corps K est appelé corps commutatif.

Par exemple l'ensemble des réels R muni de l'addition et la multiplication classiques est un corps commutatif.


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de TravisKidd, postée le 27-02-2007 à 20:30:32 (S | E)
Merci pour tes explications marie, les termes et les explications correspondent exactement, à part le terme "corps" qui veut dire en anglais pas "field" mais "division ring", le terme "field" signifiant "corps commutatif" comme j'avais déduit.

Une pétite précision, tes deux définitions de "corps" ne s'équivalent pas tout à fait. En particuiler, si K = [0], la première s'y applique mais la seconde non (puisque K*, étant vide, ne peut pas être un groupe (ce qui exige au moins un élément neutre), peu importe de quelle operation il est muni). Pas de souci, j'avais fait et corrigé la même faute dans ma propre post (insérant "non-trivial" pour exclure le cas K = [0]).


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de magstmarc, postée le 27-02-2007 à 22:18:33 (S | E)
Super travail ...

Je relève juste quelques différences entre termes anglais/français dans ce que vous avez dit :

set/ensemble
identity element/élément neutre
invertible/inversible
cancellation/simplification
ring/anneau
division ring/corps
field/corps commutatif


A corriger et compléter...
Les autres termes utilisés sont très semblables en Français et en Anglais.
Ce serait bien qu'on complète au fur et à mesure par une liste de termes et expressions mathématiques.
Et éventuellement on (je ?) pourrait en faire une petite liste à poster dans la partie "cours de maths"...du travail en perspective !

Par exemple : "étant donné" se dit "given", mais comment appelle-t-on les "données" (ou hypothèses) d'un problème, les hypothèses d'un théorème, comment dit-on "si et seulement si" ou "condition nécessaire et suffisante"...
Je crois savoir aussi que les Anglophones se servent d'un tas de petits symboles à 3 points pour dire "parce que", "donc"...que les francophones n'utilisent pas du tout.

And how do you say "idéal" in English Traviskidd ?

-------------------
Modifié par magstmarc le 28-02-2007 00:04
Suite à ta réponse à l'énigme de Tinchodoc, je peux déjà rajouter
QED/CQFD (ce qu'il fallait démontrer)
QED est du latin (quod erat demonstrandum), y a-t-il une façon "anglaise" de le dire ?


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de TravisKidd, postée le 28-02-2007 à 04:32:53 (S | E)
La liste peut devenir longue, mais the longer the better!

Quant aux "donnés" d'un problème, on peut les appeler "the conditions" ou dans un langage plus formel "the hypotheses". Moi je comprendrais mais n'utiliserais pas vraiment "the givens", bien que l'on utilise bien "given" en tant qu'adjectif.

si et seulement si = if and only if, ou iff (bien 2 F) en abrégé.
condition nécessaire et suffisante = necessary and sufficient condition

Il y a les symboles que tu mentionnes, et je les employais beaucoup autrefois, mais maintenant je ne les utilise que pour mettre vite mes pensées sur papier, ou si j'écris dans un langage symbôlique.

Dans un monde idéal, "idéal" se dirait "ideal" en anglais, et c'est bien le cas.

An ideal I of a ring R is a subring (assuming that the definition of "subring" does not require the inclusion of "1") of R with the property that for all i in I and r in R, ir and ri are in I. Because of this property, ideals are sometimes called "black holes" of rings; once an element is in I, it cannot escape via multiplication, even by elements not in I!

Il n'y a pas d'acronyme anglais pour QED. On peut utiliser les tournures verbales "which is what we wanted to show" ou "and we are done" à la fin d'une démonstration, mais il faut toujours mettre QED après, ou une carré en bas à droit.


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de TravisKidd, postée le 28-02-2007 à 06:09:04 (S | E)
Why not start our list with the English terms for more elementary mathematical concepts?

Addition : 5 + 6 = 11 ("five plus six equals(/is) eleven")
(Notice that we consider "five plus six" to be a single expression; hence we use the singular form of the verb. I have heard "five and six are/make eleven", but this sounds quite British to me!)
Here, 5 and 6 are addends, and 11 is the sum.

Subtraction : 12 - 8 = 4 ("twelve minus eight equals four")
12 is the minuend, 8 is the subtrahend and 4 is the difference. (The words "minuend" and "subtrahend" are now archaic, but I remember learning them, and I'm not very old!)

Multiplication : 7 × 8 = 56 ("seven times eight equals fifty-six")
7 and 8 are the factors, 56 is the product

Division : 36 ÷ 4 = 9 ("thirty-six divided by four equals nine")
36 is the dividend, 4 is the divisor, and 9 is the quotient

Fractions: a/b (a is the numerator, b is the denominator)
1/1 = one(/a) whole
1/2 = one-half
2/2 = two-halves
1/3 = one-third
2/3 = two-thirds
4/3 = four-thirds
1/4 = one-fourth, one quarter
1/5, 1/6, 1/7, etc. = one fifth, one sixth, one seventh, etc.
1/21 = one twenty-first
1/22 = one twenty-second

A fraction in which the numerator is less (in absolute value) than the denominator is called a proper fraction, otherwise it is an improper fraction.

Mixed numbers: 6½ = six and one(/a) half (= 13/2)

Decimals: 123.123 ("one(/a) hundred twenty-three point one two three")

Negation: -2 ("minus two" or "negative two")

Exponentiation : 34 = 81 ("three to the [fourth (power)]/[power of four] equals eighty-one"). Here, 3 is the base, and 4 is the power.
(Special cases: "squared" means to the second power, and "cubed" means to the third power.)

Comparison:
5 > 4 ("five is greater than 4")
4 < 5 ("four is less than 5")
x < 6 ("x is less than or equal to 6")
y > 6 ("y is greater than or equal to 6")

Simple algebra:
to factor = factoriser
factorization = factorisation
to expand = développer
expansion = développement
to simplify = simplifer
x + y - y = x, because "the y's cancel (each other out)"

Plane Geometry (sometimes thought to be "plain geometry"! ):
A "plane" is (in simple terms) an infinite 2-dimensional surface.

Lines:
<-------------> line
.-------------> ray
.-------------. line segment

Two lines are co-planar if they lie in the same plane.
Co-planar lines that do not intersect are called parallel.
Lines that intersect in a right angle are called perpendicular.

Angles:
- An angle less than 90° is called acute. ("an acute angle")
- A 90° angle is called right. ("a right angle")
- An angle between 90° and 180° is called obtuse.
- A 180° angle is called a straight angle.
(Note: these angles have nothing to do with the Angles, ancient inhabitants of Britain who gave their name to the language I am now writing in. Nor do angles have anything to do with angels!! )

In a triangle ABC
- AB, BC, and AC are the sides of the triangle.
- A, B, C are its vertices (sing. vertex)
- A triangle all of whose sides have the same length is called equilateral.
- A triangle two of whose sides have the same length is called isosceles.
- A triangle with no two sides of the same length is called scalene.
- A triangle is called acute, right, or obtuse according to its largest angle.
- In a right triangle, the longest side is called the hypotenuse ("high pot in use" ), and the other two sides are called the legs.

Trigonometry
sin x ("the sine of x" ; "sine" and "sign" are homophones)
cos x ("the cosine of x")
tan x ("the tangent of x")
cot x ("the cotangent of x")

I will stop now since it is getting late and I am running out of "caractères restants"!

To be continued......


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de magstmarc, postée le 28-02-2007 à 09:18:16 (S | E)
Fantastic work Travis

Je vais donner mes traductions, puis si personne ne conteste les mots Anglais ou
Français dans un délai raisonnable, je ferai une liste de vocabulaire mathématique bilingue que je mettrai dans la partie "Maths" et complèterai au fur et à mesure.

En Français "si et seulement si" s'abrège (quand le professeur le veut bien) en "ssi". La "condition nécessaire et suffisante" est une "CNS", qu'on peut détailler en "CS" et "CN"

Addition : 5 + 6 = 11 ("cinq plus six égale onze")
Ici, 5 et 6 sont les termes, et 11 est la somme.

Soustraction : 12 - 8 = 4 ("douze moins huit égale quatre")
12 et 8 sont les termes (il y a peut être des mots plus savants permettant de distinguer le terme de gauche de l'autre, mais je ne les connais pas et ils ne sont pas enseignés)et 4 est la différence.

Multiplication : 7 × 8 = 56 ("sept fois huit égale cinquante-six")
7 et 8 sont les facteurs, 56 est le produit

Division : 36 ÷ 4 = 9 ("trente-six divisé par quatre égale neuf")
36 est le dividende, 4 est le diviseur, et 9 est le quotient

Fractions: a/b (a est le numérateur, b est le dénominateur)
1/1 = ? un sur un
1/2 = un demi
2/2 = deux demis
1/3 = un tiers
2/3 = deux tiers
4/3 = quatre tiers
1/4 = un quart
1/5, 1/6, 1/7, etc. = un cinquième,un sixième, un septième, etc.
1/21 = un vingt-et-unième

Pas de distinction en Français entre les fractions inférieures ou supérieures à 1, d'ailleurs les "mixed numbers" comme 6½ sont peu utilisés (on dira 6,5)
Par contre on parle de "fraction décimale" quand le dénominateur est 10, ou 100, ou 1000...

Décimaux/"nombres à virgule" : 123,123 ("cent-vingt-trois virgule cent-vingt-trois")(cette façon de dire cause d'ailleurs bien des problèmes aux collégiens pour la comparaison des nombres décimaux)
Note : les entiers font partie des nombres décimaux.

Nombres négatifs : -2 ("moins deux")

Puissances : 34 = 81 ("trois (élevé à la) puissance quatre [ou trois exposant quatre] égale quatre-vingt-un"). Ici, 4 est l'exposant ou la puissance.
(Cas particuliers: "au carré" : à la puissance 2, et "au cube" : à la puissance 3)

Comparaison:
5 > 4 ("5 est supérieur à 4")(ou "strictement supérieur")
4 < 5 ("4 est inférieur à 5")(ou "strictement inférieur")
x < 6 ("x est inférieur ou égal à 6")
y > 6 ("y est supérieur ou égal à 6")

algèbre élémentaire:
to simplify = simplifier (il manquait le "i")
x + y - y = x, parce que "les y se simplifient"

Géométrie plane :
Un plan est une surface infinie à deux dimensions.
Figures de base :
<-------------> droite
.-------------> demi-droite ? Vecteur ? (je ne comprends pas bien ton dessin)
.-------------. segment

Deux droites sont coplanaires si elles sont contenues dans un même plan.
Deux droites coplanaires qui ne se coupent pas sont parallèles.
Deux droites qui se coupent sont sécantes.
Deux droites qui se coupent à angle droit sont perpendiculaires.

Angles:
- Un angle < 90° est aigu.
- Un angle de 90° est droit. ("l'angle droit bout à 90°C ")
- Un angle compris entre 90° et 180° est obtus.
- Un angle de 180° est un angle plat. Un angle de 0° est un angle nul.
- Un angle <180° est saillant, un angle>180° est rentrant

Dans un triangle ABC
- [AB], [BC], et [AC] sont les côtés du triangle.
- A, B, C sont ses sommets.
- Un triangle qui a tous ses côtés de même longueur ("égaux") est équilateral.
- Un triangle qui a deux côtés égaux est isocèle.
- Un triangle qui n'a pas deux côtés égaux est scalène. (s'emploie rarement)
- Un triangle est acutangle s'il a tous ses angles aigus. Il est obtusangle s'il a un angle obtus. Il est rectangle s'il a un angle droit.
- Dans un triangle rectangle, le plus long côté est l'hypoténuse, et les autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Trigonométrie
sin x ("sinus x" ou "le sinus de x")
cos x ("cosinus x")
tan x ("tangente x")
cot x ("cotangente x")


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de TravisKidd, postée le 28-02-2007 à 14:49:20 (S | E)
Très bon, je viens d'apprendre pas mal !

Juste un petit commentaire, c'est assez bizarre qu'en français on utilise le mot "rectangle" pour signifier un triangle à angle droit. Ce mot en anglais (et aussi bien en français ?) signifie un quadrilateral (ce mot existe? un polygon à 4 côtés) dont tous les angles sont droits.


Réponse: [Math] Rings and things. (vocab. fr-an) de magstmarc, postée le 28-02-2007 à 19:22:41 (S | E)
On peut rajouter :
a quadrilateral/un quadrilatère
a polygon/un polygone
a rectangle/un rectangle

En Français on a choisi de dire "un triangle rectangle" parce que, je suppose, "rect-angle" signigie "angle droit" (origine : latin). On peut aussi se dire que le triangle avec un angle droit est un demi-rectangle.
On aurait tout aussi bien pu choisir de dire "un triangle droit"... cela viendra peut-être dans le futur si on décide d'harmoniser un peu les termes mathématiques internationaux. (Les Allemands disent "un triangle à angle droit".)
Evidemment, comme la figure "rectangle" est connue depuis l'école maternelle (Kindergarten en Anglais) cela choque un certain nombre d'élèves qu'un triangle puisse être "rectangle), et quelques adultes aussi.
Question d'habitude...ou d'étymologie.




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