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[Maths]La démonstration d'un préside
Message de marie11 posté le 28-02-2007 à 14:15:55 (S | E | F | I)

Bonjour.
Vingtième président des États-Unis, James Abraham Garfield (1831-1881)fut assassiné 6 mois et quinze jours après son investiture. Ambidextre, il était capable, si l'on en croit la légende, d'écrire, d'un même mouvement, le latin d'une main et le grec de l'autre. En 1876, il découvrit une démonstration du théorème de Pythagore utilisant le calcul de l'aire d'un trapèze rectangle.
Problème.
On considère un trapèze rectangle ABCD décrit dans le sens trigonométrique.
Ainsi
[AD] est la petite base et AD = a
[BC] est la grande base et BC = b
[AB] est la hauteur et AB = a + b

Il est bien entendu que a < b
On place sur [AB] le point M tel que BM = a.

1- Montrez que le triangle DMC est rectangle et isocèle.
On désignera par c la longueur commune des segments [MD] et [MC].
2- Calculez de deux manières différentes l'aire du trapèze ABCD.
3- En déduire que a² + b² = c²
-------------------
Modifié par bridg le 28-02-2007 14:53
Identification.
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Modifié par bridg le 17-03-2007 15:48
transfert en maths


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de magstmarc, postée le 28-02-2007 à 19:33:54 (S | E)
Pour nos collégiens que l'aventure tenterait : le sens trigonométrique = le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Faites un dessin...

-------------------
Modifié par magstmarc le 28-02-2007 19:57
J'ai fait celui-ci :

Est-ce qu'il te convient marie11 ?


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de TravisKidd, postée le 28-02-2007 à 21:10:33 (S | E)
I had no idea my old president was such a mathematician! I was very sad, at the age of -91, when I heard the news that he had been assassinated; now, I am even sadder. Now, I must keep his memory alive by proving Garfield's Theo...er, showing Garfield's proof of the Pythagorean Theorem.

Je fais ma démonstration en anglais, si seulement parce que je ne veux pas faire deux travaux (faire une bonne argumentation, et traduire) à la fois. Aussi, mag peut en prendre du nouveau vocabulaire.

The triangles ADM and BMC are congruent because of SAS (side-angle-side). Hence DM = MC (so triangle DMC is isosceles), and angle AMD = angle BCM, so that (as angles) AMD + BMC = BCM + BMC = 90°. Since AMD + DMC + BMC = 180°, we have DMC = 90° (so triangle DMC is a right triangle).

Now, the area of trapezoid ABCD is ½(b1+b2)h = ½(a+b)2. But this area is also the sum of the areas of the three triangles AMD, DMC, and BMC = ½ab + ½E + ½ab = ab + ½E, where E = [MC]2. (Einstein was right!! ) So we have ½a2 + ab + ½b2 = ab + ½E, so that a2 + b2 = E = c2
, and we are done. QED

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Modifié par TravisKidd le 28-02-2007 21:11
Thanks to mag for the picture, which made things much clearer for me in my mind.


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de magstmarc, postée le 03-03-2007 à 22:44:24 (S | E)
Hello Marie11,

Un peu en retard...

1) ABCD est un trapèze : (AD)//(BC) , donc comme l'angle ABC est droit, l'angle BAD est droit aussi. (Si 2 droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre)
Les triangles rectangles AMD et BMC sont isométriques parce qu'ils ont en commun deux longueurs de côtés et la mesure de l'angle déterminé par ces deux côtés.
-Donc leurs hypoténuses sont égales : DM = MC, et le triangle DMC est isocèle en M.
-Donc leurs angles sont égaux deux à deux, par conséquent angleBMC = angle ADM.
Comme ADM est rectangle, ses angles aigus sont complémentaires : AMD + ADM = 90°.
On en déduit AMD + BMC = 90° donc DMC = 180 - (AMD + BMC) = 90°.
Donc le triangle DMC est rectangle en M.

2) a) Aire(ABCD)= ½(a+b)*(a+b) (½(petite base + grande base)*hauteur)
Donc Aire(ABCD)= ½(a² + 2ab + b²)
b) Aire(ABCD)=Aire(AMD) + Aire(BMC) + Aire(DMC)
Aire(ABCD)= ½ab + ½ab + ½c² (pour un triangle rectangle : aire = demi produit des côtés de l'angle droit)

3) en multipliant les deux expressions de l'aire par 2, on obtient
a² + 2ab + b² = 2ab + c² , c'est à dire a² + b² = c².


Marie11. C'est une jolie démonstration du théorème de Pythagore, car elle est assez rapide et n'utilise que des résultats de géométrie assez simples...
J'essaierai de la retenir !


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de TravisKidd, postée le 04-03-2007 à 05:31:08 (S | E)
Honte à nous deux, on n'a ni l'un ni l'autre d'abord montré que, pour TOUT triangle rectangle, on peut construire un trapèze comme celui dans ton dessin !!!


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de magstmarc, postée le 05-03-2007 à 10:28:55 (S | E)
Travis, tu pinailles... (voilà une expression que tu peux retenir )
Marie11 a dit que b>a, donc pas de problème pour construire un trapèze comme celui de la figure pour n'importe quel triangle rectangle.
Par ailleurs, si b=a ce qui peut arriver dans un triangle rectangle, le trapèze devient un rectangle mais la formule de l'aire est encore valable et la démonstration aussi.


Réponse: [Maths]La démonstration d'un préside de marie11, postée le 14-03-2007 à 09:00:35 (S | E)
Bonjour.

Voici la démonstration que je propose.

1- l'examen attentif de la figure montre que les triangles rectangles MAD et MBC sont des moitiés de rectangles de mêmes dimensions.
Les hypothénuses[MD] et [MC] ont donc même mesure.(diagonales de deux rectangles superposables).
Le triangle DMC est isocèle (MD = MC). D' autre part les angles DMA et CMB sont complémentaires. Donc DMC est droit (DMC = 90°).

On désigne par c la mesure commune des segments [MD] et [MC].
[MD] et [MC] étant les hypoténuses des triangles rectangles DAM et MBC.

Ainsi :

Aire de ABCD = Aire de MAD + Aire de DMC + Aire de CMD.

(a+b)*(a+b)/2 = a*b/2 + c²/2 + a*b/2

On supprime le dénominateur commun.(On multiplie les deux membres de l'égalité par 2)

a² + 2a*b + b² = 2a*b + c²

donc :

a² + b² = c².




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