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[maths] Un point sur la médiane.
Message de marie11 posté le 04-03-2007 à 16:38:32 (S | E | F | I)

Bonjour.

Lorsque j'ai rédigé la solution de l'exercice "drôle de partage" j'ai découvert une propriété qui fait l'objet d'un nouvel exercice.
En général les énoncés anodins masquent toujours des solutions complexes.

Constatations géomètriques.

I- On considère un triangle ABC (quelconque).On trace une droite parallèle à [BC] qui coupe [AB] en I et [AC] en J. Les droites (CI) et (BJ) se coupent en K.
En traçant la médiane [AM], M étant le milieu de [BC], vous pourrez constater que les droites (CI) (BJ) et (AM) sont concourantes en K.

II- On considère un triangle ABC (quelconque). On trace la médiane [AM].
Sur [AM] on prend un point arbitraire K et on trace la droite (BK) qui coupe le côté [AC] en J , puis la droite (CK) qui coupe le côté [AB] en I.
Constatez que (IJ) est parallèle à [BC].

Problème.

Le but du problème est de démontrer ce que vous venez de constater.
Connaissances requises: Géomètrie baccalauréat math-elem. Programme 1950.
Ce problème s'adresse particulièrement à ceux, qui comme moi, aiment les mathématiques.

(Très) difficile.
Correction : samedi 10 mars.

-------------------
Modifié par bridg le 17-03-2007 15:44
Transfert en maths


Réponse: [maths] Un point sur la médiane. de marie11, postée le 15-03-2007 à 11:05:16 (S | E)
Bonjour.

Voici la démonstration.

Considérons un triangle ABC.
On trace une demi-droite [Ax) qui coupe [BC] en P
On trace une demi-droite [By) qui coupe [AC] en Q

Ces deux demi-droites se coupent en I.

On trace [CI) qui coupe [AB] en R.

Les segments [AP] ; [BQ] ; [CR] sont donc concourants en I.

Que dit le - théorème de Céva* - ?

Pour que 3 points P , Q , R pris respectivement sur les côtés [BC] ; [AC] ; [AB] d'un triangle ABC, soient tels que les droites (AP) (BQ) (CR) sont concourantes, il faut et il suffit que l'on ait :

PB/PC * QC/QA * RA/RB = -1 (il s'agit de mesures algèbriques). (1)


Puisque les droites sont par hypothèse concourantes, la relation (1) est vérifiée.

Supposons que [AP] soit une médiane. P est donc le milieu de [BC] et par voie de conséquence PB/PC = -1. (Il s'agit toujours de mesures algèbriques).

Il s'ensuit que :

QC/QA * RA/RB = 1 <====> QC/QA = RB/RA.

La réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que les droites (BC) et (RQ) sont parallèles.

*Jean Céva, géomètre italien du XVII siècle.
Pour établir le théorème qui porte son nom, il s'est largement inspiré du théorème de Ménélaüs d'Alexandrie géomètre grec qui vivait au premier siécle.











Réponse: [maths] Un point sur la médiane. de ulrik, postée le 16-03-2007 à 06:43:55 (S | E)
SSalut!!

Puissant le niveau bac en 1950 !!!!!



Je crois que maintenant le théorème de Céva n'est plus au programme terminal !!!!!

A mon avis c'est pour ca que personne a répondu a cette exercice !!!!

Mais c'est pas grave on aurait connu un nouveau grand homme

mici mici

++


Réponse: [maths] Un point sur la médiane. de frapedur, postée le 18-03-2007 à 10:13:51 (S | E)
Vive les mathématiques sup. J'hésite franchement à y aller. De toute façoln, je suis obligé de les faire. tant pis, je me creuserais le cerveau.

marie11 pour cette explication super bien détaillé




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