différentielle exacte

[Maths]différentielle exacte (1)

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[Maths]différentielle exacte
Message de elanor posté le 16-12-2007 à 22:33:58 (S | E | F | I)
voila je dois résoudre un exercice mais je suis bloquée sur cette partie
si vous pouvez m'aider, je vous remercie d'avance

w(x,y)=[(xy-y²+x)/(x+y-1)^3]dx+[(xy-x²+y)/(x+y-1)^3]dy

chercher une fonction f telle que df=w

je sais que ce n'est pas facile, c'est niveau bio spé...

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Modifié par webmaster le 27-01-2008 20:49

Réponse: [Maths]différentielle exacte de magstmarc, postée le 17-12-2007 à 22:31:12 (S | E)
Hello,

$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

Alors, il "suffit" d'intégrer par rapport à x l'expression à gauche du "dx", en considérant y comme une constante.
On va trouver que la fonction f est nécessairement de la forme F(x) + K(y) où K(y) est une constante pour x, c'est à dire une fonction de y uniquement.

En redérivant la fonction F trouvée par rapport à y, on doit trouver l'expression donnée facteur de dy, et on pourra alors préciser cette fonction K(y).

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Modifié par magstmarc le 17-12-2007 23:38
les fonctions données semblent très difficiles à intégrer, un peu étonnant, surtout que leurs inverses sont beaucoup plus accessibles
Car $\frac{\partial} {\partial x}(x + y - 1)^2 = (xy-y^2+x)$ et $\frac{\partial} {\partial y}(x + y - 1)^2 = (xy-x^2+y)$
Peux-tu confirmer l'énoncé...merci

Réponse: [Maths]différentielle exacte de marie11, postée le 17-12-2007 à 22:33:01 (S | E)
Bonjour.

Il y a une erreur dans l'énoncé.
Il faut écrire :

(x + y + 1) et non (x + y - 1)

En effet si on désigne par :
A(x y)──► (xy -y² + x)/(x + y - 1)³
B(x y)──► (xy -x² + y)/(x + y - 1)³
Alors on devrait avoir :

$\frac{\partial A(xy)}{\partial y} = \frac{\partial B(xy)}{\partial x}$

ce qui n'est pas le cas.
En revanche si l'on prend (x + y + 1) la condition ci-dessus est vérifiée.

Si l'erreur se confirmait on devrait trouver :
$f(xy) = \frac12\times\frac{x^2 + y^2}{(x + y + 1)^2}$

Aide :

Il faut intégrer :
$\Bigint A(xy)dx \\<br /> y \; est \; alors\;une \;constante\\<br /> On\; obtient \;<br /> \Bigint\frac{xy-y^2+x}{(x + y +1)^3} dx =\Bigint\frac{x(y+1)-y^2}{(x+(y +1))^3}dx \\ On\; pose \; y+1 =\alpha \; donc \\ \Bigint\frac{x\alpha-y^2}{(x +\alpha)^3}dx \\ On \; pose \; X = x +\alpha\; ,on \;obtient\\ \Bigint\frac{(X -\alpha)\alpha-(\alpha-1)^2}{X^3}dX\\ qui \; se \; calcule \; facilement$

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