Devoir de maths! (1)

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Devoir de maths!
Message de abla02 posté le 20-10-2008 à 19:31:17 (S | E | F)
svp Bonjour.
S'il vous plaît, pouvez-vous m'aider? Voilà les exercices:
1)Parmi(s) les rectangles qui ont la même surface, démontrez que le carré a le plus petit périmètre!

2) considérons x et y tels que: 1<=x²-xy+y²<=2
a) démontrez que 2/9<=x a la puissance 4 + y a la puissance 4<=8
b) démontrez que pour chaque n de l'ensemble N tel que n>=3 on a x a la puissance 2n+ y a la puissance 2n >= 2/3 a la puissance 2n (seulement 3)!
Merci d'avance!!
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Modifié par bridg le 20-10-2008 19:37

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Réponse: Devoir de maths! de jordan777, postée le 20-10-2008 à 22:19:04 (S | E)
x⁴ + y⁴ = (x² + y ²)² - 2x²y² ≤ -x²y² + 4xy + 4
⇔ x⁴ + y⁴ - 8 = -(xy-2)² ≤ 0
⇔ x⁴ + y⁴ ≤ 8 (1)

x² + y² ≥ -2xy ⇔ 3(x² + y²) ≥ 2 (x² - xy + y²) ≥ 2
3(x² + y²) ≥ 2 ⇔ x² + y² ≥ 2/3

De plus,

x⁴ + y⁴ ≥ 1/2(x² + y²)² ≥ 1/2*(4/9) = 2/9 (2)

A partir de (1) et (2), on tire :

2/9 ≤ x⁴ + y⁴ ≤ 8

A vous de terminer.
Bon courage !

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Réponse: Devoir de maths! de abla02, postée le 20-10-2008 à 22:54:11 (S | E)
Merci beaucoup!!

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Réponse: Devoir de maths! de taconnet, postée le 20-10-2008 à 23:18:56 (S | E)
Bonjour.

Parmi les rectangles qui ont la même surface, démontrez que le carré a le plus petit périmètre!

Voici ce que je propose.

Soit L et l les dimensions d'un rectangle et a la mesure du côté d'un carré.

Si le rectangle et le carré ont même aire alors :

L*l = a² <══> a = √L*l

Il faut donc montrer que :
4a < 2(L + l)
or
4a = 4√L*l
donc
16L*l < 4(L² + 2L*l + l²)
4L*l < L² + 2L*l + l²
0 < L² - 2L*l + l²

soit
0 < (L - l)²

Ce qui est toujours vrai.

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Réponse: Devoir de maths! de abla02, postée le 20-10-2008 à 23:35:41 (S | E)
merci pour ton aide c'est vraiment sympa de ta part!!
Pouvez vous me repondre a la question 2 du 2 exercice?
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Modifié par abla02 le 20-10-2008 23:35

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