Équation (1)

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Équation
Message de mp83 posté le 13-02-2009 à 12:36:15 (S | E | F)
bonjour
Déterminer tous les entiers strictement positifs x, y et z tels que
1/x+1/y+1/z=1
quelqu'un peut-il me donner des pistes?
merci

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Réponse: Équation de magstmarc, postée le 13-02-2009 à 22:07:19 (S | E)
Bonjour,

Cela ressemble à un exercice de recherche, donc, il faut essayer...tester des valeurs et essayer d'en tirer des conséquences...

On remarque que (3 ; 3 ; 3) est solution ainsi que (2 ; 3 ; 6) par exemple
Il est facile aussi de voir qu'aucun des entiers x, y ou z ne peut valoir 1 (pourquoi ?)
Ou encore : s'il y en a un qui vaut 2, les autres sont forcément strictement supérieurs à 2 (pourquoi ?)

Et si on se fixe deux entiers x et y avec x > = 2 et y > 2, est-ce qu'on peut toujours écrire le nombre 1 - (1/x) - (1/y) sous la forme 1/z, avec z entier ?

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Réponse: Équation de fr, postée le 18-02-2009 à 14:01:04 (S | E)
Bonjour,

pour aller plus loin,
on peut chercher les solutions avec x<=y<=z (les autres solutions s'obtiennent par permutation de x, y et z, car l'équation est "permutable" en x, y et z...)

On peut alors voir que x (le plus petit terme) ne peut valoir 4 ou plus, pourquoi ?
On cherche donc les solutions avec x=2 ou 3

Il est alors facile de trouver toutes les seules solutions,
en effet :

a) si x=2, on a l'équation: yz=2(y+z) (pourquoi ?)
que l'on peut aussi écrire : (y-2)z=2y
et on retirant (2y-4) de chaque côté : (y-2)(z-2)=4
Quels sont toutes les possibilités pour que le produit de 2 entiers donnent 4 ?
D'où les solutions ...

b) si x=3, on a l'équation: 2yz=3(y+z) que l'on peut écrire sous la forme ...


PS : en tout, il y a 10 triplets solutions, avec les permutations.

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