Montrer que f n'est pas affine (1)

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Montrer que f n'est pas affine
Message de nelylles posté le 09-03-2009 à 01:50:21 (S | E | F)
Bonjour à tous.

J'ai reçu un exercice de maths et je ne comprend pas comment procéder...
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Énoncé :

Soit la fonction f définie sur [0 ; +inf[
On donne ce tableau de valeur :
f(1) = 10,5 ; f(2) = 2 ; f(3) = 4,5

Montrer que f n'est pas une fonction affine. (Je ne vois pas du tout quelle méthode employer...)

D'avance merci pour votre aide !

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Réponse: Montrer que f n'est pas affine de dinozzo69, postée le 09-03-2009 à 02:20:18 (S | E)
Bonjour,

Une fonction affine est une fonction sous la forme y=ax+b (forme générale).

Tu aura donc f(1)=a+b=10.5
f(2)=2a+b=2
Si on prend les 2 premières équations : a=10.5-b
Dans la deuxième 2x(10.5-b)+b=2
21-b=2
b=19
Donc a=10.5-19=-7.5

Si on a une fonction affine alors ces conditions (valeur de a et de b) devraient vérifier la troisième condition : f(3)=4.5

On a alors f(3)=3x(-7.5)+19=-22.5+19=-2.5 ce qui est différent de 4.5 que l'on devrait trouver si on avait une fonction affine.

Courage !

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Réponse: Montrer que f n'est pas affine de taconnet, postée le 09-03-2009 à 10:54:14 (S | E)
Bonjour.

Il faut généraliser le problème.

Revenons à la définition:

Une fonction affine est une fonction de la variable réelle x dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme de degré un. Elle est définie par:

f : R ──> R
x ──> f(x) = ax + b

a et b des nombres réels fixés.

Dans l'expression ci-dessus, a et b sont des constantes et x est la variable.

La constante a est appelée coefficient directeur et b ordonnée à l'origine.

Pour fixer les idées:

sont des fonctions affines.

Considérons une fonction affine ( a et b donnés)
f(x) = ax + b

Soient deux réels distincts donnés u et v (u ≠ v) <══> u - v ≠ 0
on a

f(u) = au + b
f(v) = av + b

donc

f(u) - f(v) = au - av = a(u -v) donc

ce qui prouve que pour tout couple de réels (u,v) le rapport est constant.

Remarque importante :

La fonction affine est bijective.

Donc

x₁ ≠ x₂ <══> f(x₁) ≠, f(x₂)

Conséquence:

Si l'on donne:
f(a) = t
f(b) = u
f(c) = v

Ainsi, dire que f est une fonction affine, c'est dire que les rapports :


sont égaux.

C'est aussi la condition d'alignement de trois points.

Voici un exemple :

Vérifiez à l'aide de la formule précédente que les points A(1/3;3) ; B(-1;-1) ; C(1;5) sont alignés.

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