Partie entière

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Partie entière
Message de babou04 posté le 12-09-2009 à 15:29:32 (S | E | F)
Bonjour , je n'arrive pas à faire cet exercice :
Montrer que pour tout x appartenant à R , et pour tout entier n , on a
Ent(x+n)=Ent(x) + n .
Quelqu'un pourrait t'il me venir en aide ? , merci beaucoup .

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Réponse: Partie entière de kounassi, postée le 14-09-2009 à 02:33:59 (S | E)
Bien
si ab alors a=b
Nous avons E(x)<=x<=E(x)+1 pour tout x reel.
Posons E(x+n)<=x+n<=E(x+n)+1
Faisons les differences entre les inegalites a gaiche et les inegalites a droite,nous pouvons successivement prouver que E(x+n)<=E(x)+n et E(x+n)>=E(x)+n et donner une conv=clusion
Good luck

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Réponse: Partie entière de taconnet, postée le 14-09-2009 à 08:11:41 (S | E)
Bonjour.

Voici la définition de la partie entière d'un réel :

Lien Internet


1- Introduction.Position du problème.

Soit a un réel. Notons E(a) sa partie entière.
Puisque R est archimédien il existe un entier p tel que :
p ≤  a  ≤  p +1

D'après la définition on pose E(a) = p

2- Démonstration.

Soit x un réel.
Considérons alors E(x + n) où n est un nombre entier.
E(x + n) est donc la partie entière du réel (x + n) c'est à qu'il existe un entier k tel que :

k ≤ x + n ≤ k + 1

Donc

E(x + n) = k

Or la double inégalité précédente s'écrit aussi :

k - n ≤ x ≤ k - n +1

Donc

E(x) = k - n

On a ainsi les équivalences suivantes :

E(x) = k - n <══> E(x) + n = k <══> E(x) + n = E(x + n)

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