DM logarithme T°S

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DM logarithme T°S
Message de titflorette posté le 05-01-2010 à 20:05:38 (S | E | F)
Bonjour,

f(x)=(ln(1+x))/x
-1/2 < ou égal (ln(1+x)-x)/x² < ou égal -1/2 + x/3
En déduire que f est dérivable en zéro et que f'(0)=-1/2.

Alors j'ai tout trouvé excepté la dernière question.
Je ne sais pas comment me débrouiller avec mon encadrement, et pour retrouver -1/2.
C'est peut-être tout simple mais bon j'ai pas eu le déclic encore

Si quelqu'un pouvait m'aider, svp.

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Réponse: DM logarithme T°S de taconnet, postée le 05-01-2010 à 23:40:54 (S | E)
Bonjour.

Ce que vous devez savoir :

I - Définition :

Dire qu'une fonction f définie sur un intervalle [A , B] est déribable en un point d'abscisse x₀ de cet intervalle, c'est dire que :



Le nombre K quand il existe est appelé nombre dérivé de f en x₀ ou plus simplement dérivée de f en x₀. Il est noté f'(x₀).

II - Théorème des (deux) gendarmes :

Soit e , g , h trois fonctions définies sur le même intervalle telles que e et h admettent la même limite l au point x₀.
S'il existe de plus un intervalle ouvert I contenant x₀ tel que :
Quel que soit x de cet intervalle on ait :

e(x) ≤  g(x) ≤  h(x)

alors g admet une limite au point x₀ et cette limite est l


Vous avez démontré que :
Pour tout x strictement positif on a :
-1/2 ≤ (ln(1+x)-x)/x² ≤ -1/2 + x/3

Vous remarquerez que (application du théorème précédent)



Vous remarquerez aussi que :


d'après la définition

un simple calcul montre que :

car et f(0) = 1

Donc f'(0) = - 1/2

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Réponse: DM logarithme T°S de titflorette, postée le 14-01-2010 à 16:05:20 (S | E)
Je n'avais pas pensé à la formule [f(x)-f(a)] / (x-a), maintenant c'est clair
Je n'ai plus qu'à finir mon exercice.
Merci beaucoup et bonne journée.

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