Etude de fonction

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Etude de fonction
Message de lepsy posté le 14-03-2010 à 04:31:54 (S | E | F)
Bonsoir,

Soit f l'application de R* dans R telle que:
- Si x appartient à ]-inf,0[ U ]0,2[ f(x) = 2-x - 1/x
- Si x appartient à [2,+inf[ f(x) = x-2-1/x

1- L'application f est-elle continue et dérivable sur R*? Qu'en est-il en particulier au point x = 2?

2- Étudier les variations de f

3- On désigne par (C) la courbe représentative de l'application f dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormé (unité graphique = 2 cm).
a) Donner les équations des asymptotes de (C)
b) Désignons par A le point de coordonnées (2, -1/2)

Soit respectivement (C1) et (C2) les arcs de (C), ensemble des points M(x,y) tels que:
(C1) = M(x,y) appartient à (C)./x < ou =2
(C2) = M(x,y) appartient à (C)./x > ou = 2

Donnez les équations des tangentes en A à (C1) et à (C2)

c) Tracer la courbe (C) dans le plan (P), ses asymptotes et les tangentes en A à (C1) et à (C2).

Merci d'expliquer la démarche littéraire.

inf = infini

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Réponse: Etude de fonction de iza51, postée le 14-03-2010 à 08:50:35 (S | E)
bonjour
Qu'avez-vous déjà fait ?
1) pour la continuité et la dérivabilité sur ]0; 2[ et sur ]2; +∞[; il suffit de dire que la restriction de f à chacun de ces intervalles coïncide avec une fonction rationnelle continue et dérivable sur leur ensemble de définition.
pour la continuité en 2: il faut étudier la limite de f à droite de 2 et la limite à gauche
pour la dérivabilité, il faudra calculer et simplifier le rapport puis en étudier la limite à droite et à gauche de 2
ou bien ce qui revient au même, calculer et simplifier le rapport puis en étudier la limite quand h tend vers 0 avec h>0 (limite à droite) puis la limite quand h tend vers 0 avec h < 0 (limite à gauche)

2) pour l'étude des variations, avez-vous calculé la dérivée ?

bien sûr, elle s'exprime différemment suivant que x appartient à ]0; 2[ ou à ]2; +∞[

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