Valeur absolue

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Valeur absolue
Message de justcarpediem posté le 16-09-2010 à 18:24:13 (S | E | F)
Bonjour,

depuis quelques temps je bloque sur un exercice dont voici l'énoncé:

Soient a et b deux nombres réels
1. Démontrer que 0< |a+b|²< (|a|+|b|)²

( les signes inférieur sont aussi égal)

Merci de votre aide

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Réponse: Valeur absolue de walidm, postée le 16-09-2010 à 19:18:47 (S | E)
Bonjour,
la valeur absolue d'un nombre réel a est la distance entre l'origine Oet le point A d'abscisse a : |a| = d(O,A)= OA =max(a,-a)c'est un nombre positif.
On a alors:
les propositions suivantes sont toutes vraies:
a<=|a| et b<=|b|
-a<=|a| et b<=|b|
a<=|a| et -b<=|b|
-a<=|a| et -b<=|b|
et par conséquent: a+b<=|a|+|b| ,-a+b<=|a|+|b|, a-b<|a|+|b| et -a-b<=|a|+|b|.
Or dans tous les cas |a + b| prend nécessairement l'une des valeurs en bleu qui est positive. l'inégalité suivante 0<=|a + b|<=|a|+|b| est alors vraie quelques soient a et b. Maintenant puisque la fonction x---->x^2 est strictement croissante sur R+ le résultat en découle.
On peut aussi passer par :
0<=|a+b|²=|a+b|*|a+b|=|(a+b)*(a+b)|=|(a+b)²|= (a+b)²=a²+2ab+b²<=a²+2|a||b|+b²
=(|a|+|b|)²

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Réponse: Valeur absolue de taconnet, postée le 16-09-2010 à 20:05:42 (S | E)
Bonjour.

Je vous propose une autre démarche.

On sait, par définition, que quel que soit le réel X, on a X ≤ │X│

Ainsi, quels que soient les réels A et B, on a :

AB ≤ │AB│ <══> 2AB ≤ 2│AB│

En considérant l'inégalité de droite, ajouter A² + B² à ses deux membres, puis factorisez en utilisant les identités remarquables...

Remarquez que :

A² =│A│²

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