Déduire les solutions d'une équation

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Déduire les solutions d'une équation
Message de caromline posté le 17-10-2010 à 15:58:06 (S | E | F)
On pose P(Z)=Z^4-1

a) Factoriser P(Z). Je trouve : (z+i)(z-i)(z-1)(z+1)

b)En déduire les solutions dans l'équation P(Z)=0
Je trouve donc : -i ; i ; 1 et -1

c) Déduire de la question précédente les solutions dans l'équation d'inconnue z : ((2z+1)/(z-1))^4=1

... mais je ne sais pas comment faire ! merci d'avance de m'aider.

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Réponse: Déduire les solutions d'une équation de taconnet, postée le 17-10-2010 à 16:50:18 (S | E)
Bonjour.

C'est un bon début.

Vous devez maintenant résoudre :



or vous avez résolu l'équation Z⁴ - 1 = 0

Dans le cas où Z ≠ 1 alors il suffit de résoudre :





et de ne conserver que les valeurs de Z ≠ 1

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Réponse: Déduire les solutions d'une équation de caromline, postée le 17-10-2010 à 17:12:12 (S | E)
je n'ai pas très bien compris...

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Réponse: Déduire les solutions d'une équation de plumemeteore, postée le 17-10-2010 à 20:03:06 (S | E)
Bonsoirr Caromlin.
Comme tu l'as trouvé, si une expression élevée à la quatrième puissance donne 1, alors cette expression vaut une des valeurs 1, -1, i et -i; d'où le tableau de Taconnet.
On suppose que z est différent de -1; ce qui autorise à multiplier dans chaque cas les deux membres par z-1

Par exemple la première équation devient :
2z+1 = iz-1
2z-iz = -1-1
z*(2-i) = -2
z = -2/(2-i)
si on ne veut pas de i au dénominateur, l'astuce ici est de multiplier le numérateur et le dénominateur par 2-i
-2*(2+i) / (2-i)(2+i)
= (-4-2i)/(2²-i²)
= (-4-2i)/(4-(-1))
= (-4-2i)/5
ou encore : -0,8 - 0,4i

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