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Message de inssaf147 posté le 03-10-2013 à 20:30:58 (S | E | F)
Bonsoir,
Pourriez-vous m'aider à comprendre cet exercice, s'il vous plaît ? :
Exercice1:
Démontrer que 17 divise 21^n-2^2n
Merci pour votre aide.
-------------------
Modifié par bridg le 03-10-2013 20:43
Formules de politesse.
Message de inssaf147 posté le 03-10-2013 à 20:30:58 (S | E | F)
Bonsoir,
Pourriez-vous m'aider à comprendre cet exercice, s'il vous plaît ? :
Exercice1:
Démontrer que 17 divise 21^n-2^2n
Merci pour votre aide.
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Modifié par bridg le 03-10-2013 20:43
Formules de politesse.
Réponse: La réccurence de tiruxa, postée le 03-10-2013 à 22:11:59 (S | E)
Bonsoir,
La démonstration se fait en 3 étapes (voir votre cours) :
D'abord démontrer que la propriété est vraie pour la plus petite valeur de n (n=0 je suppose).
C'est plutôt évident, il suffit de remplacer n par 0 (ou par 1 si n est non nul dans l'énoncé)
Ensuite et c'est le plus dur démontrer que la propriété est "héréditaire", c'est à dire qu'elle se transmet d'indice en indice.
On suppose alors que pour une valeur de n la propriété est vraie, c'est à dire que 21^n - 2 ^(2n) = 17 k avec k entier relatif (c'est l'hypothèse de récurrence).
Il reste à démontrer que la propriété est vraie pour n+1, c'est à dire que 21^(n+1) - 2^(2(n+1)) = 17 k' où est un entier relatif à déterminer.
UN CONSEIL :remplacer 21^n dans 21^(n+1) - 2^(2(n+1)) en se servant de l'hypothèse de récurrence.
J'attends vos résultats, bon courage.
Réponse: La réccurence de inssaf147, postée le 03-10-2013 à 22:26:16 (S | E)
Merci beaucoup,
Voici mes résultats:
f(n+1)=17(2k+21^n)
2k+21^n est vrai ça veut dire que 17 divise f(n+1)
Donc 17 divise aussi f(n).
Bonne nuite !
Réponse: La réccurence de tiruxa, postée le 03-10-2013 à 23:26:17 (S | E)
Hélas la formule est fausse, si vous aviez détaillé je vous aurais dit à quel endroit cela ne fonctionnait pas.
Pour vous démontrer qu'elle est fausse prenons l'exemple n=1
f(n)=f(1)= 17 = 17x1 donc k = 1
f(n+1) = f(2) = 425 = 17*25 donc k' = 25
Or selon votre résultat k' = 2k + 21 ^n = 2 + 21 = 23 donc cela ne marche pas.
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