Application injective

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Application injective
Message de inssaf147 posté le 15-10-2013 à 18:16:13 (S | E | F)
Bonsoir à tous; Pouvez-vous m'aider à comprendre cet exercice, s'il vous plaît ?
Merci pour vos réponses.:
Soit f application déterminée de E à F. Démontrer que:
Quel que soit (A;B) appartient à (P(E)^2): f(A inter B)=f(A) inter f(B) (=)équivalent qie f est une application injective.
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Modifié par bridg le 15-10-2013 19:27
Politesse

Réponse: Application injective de tiruxa, postée le 15-10-2013 à 19:59:15 (S | E)
BONSOIR,

Je ne vais pas résoudre le problème mais le poser plus précisément.

On a déjà vu que pour tout application f on a f(A inter B) contenu dans f(A) inter f(B).

C'est donc l'inclusion inverse qui est équivalente au fait que f est injective.

Commençons par l'implication dans un sens.

On suppose que f est injective.

Il faut démontrer que f(a) inter f(B) est contenu dans f(A inter B)

Pour cela considérons un élément y de f(A) inter f(B).

Puisqu'il est dans f(A) il existe un réel x de A tel que f(x) = y...... (je vous laisse continuer....il faut arriver à trouver que y est dans f(A inter B).

Réponse: Application injective de inssaf147, postée le 15-10-2013 à 20:16:11 (S | E)
Salut à vous;
Mais on demande que f est injective c'est à dire f(x)=f(y) implique x=y et ce n'est pas y=f(x). Sinon comment je trouverai que y est dans f(A inter B) ?

Réponse: Application injective de tiruxa, postée le 15-10-2013 à 21:54:30 (S | E)
En effet mais là je suis en train de faire la réciproque, c'est à dire que l'on suppose que f est injective.

On doit montrer en fait que x est élément de A inter B, ce qui permet de dire que y appartient à f(A inter B)....

Inspirez vous de ce que j'ai fait. Bon courage

Réponse: Application injective de inssaf147, postée le 16-10-2013 à 00:10:29 (S | E)
Oui vous avez raison.
Mais comment je démontrerai que y est dans f(A inter B) ? Et je ferai quoi après ? Répondez moi S'il vous plaît j'ai besoin d'une réponse qui résous l'exercice. Aidez moi svp ! C'est un exercice très important. En plus, le prof nous a dit que nous aurons un contrôle qui contient cet exercice intéressant.

Réponse: Application injective de tiruxa, postée le 16-10-2013 à 07:32:00 (S | E)
Bonjour,

Certes, mais j'ai besoin de voir que tu comprends ce que je dis sinon tu auras du mal à refaire un exercice similaire...

Je continue un peu et te laisse conclure :

Pour cela considérons un élément y de f(A) inter f(B).

Puisqu'il est dans f(A) il existe un réel x de A tel que f(x) = y

Il est aussi dans f(B) donc il existe un réel x' de B tel que f(x') = y

Donc f(x) = f(x'), or f est injective donc ...............

Réponse: Application injective de inssaf147, postée le 16-10-2013 à 18:02:37 (S | E)
Salut: J'ai trouvé que y est dans f( A inter B) et quoi encore je ferai quoi après ?
Bonne soirée!

Réponse: Application injective de tiruxa, postée le 17-10-2013 à 08:30:26 (S | E)
Bonjour,

Après il faut faire la réciproque :

On suppose que f(A inter B) = f(A) inter f(B) et on doit démontrer que f est injective.

Soit x et x' deux éléments distincts de E, il faut démontrer que f(x) et f(x') sont distincts.

Pour cela poser A= {x} et B={x'} on a alors f(A)= {f(x)} et f(B) = {f(x')}

Il reste plus qu'à utiliser l'hypothèse pour pouvoir conclure.......... je vous laisse le soin de le faire

Réponse: Application injective de inssaf147, postée le 17-10-2013 à 12:13:09 (S | E)
Bonjour à tout le monde: Pour l'hypothèse on a f(A inter B)= f(A) inter f(B)
Donc f( {x}inter{x'} )= {f(x)} inter {f(x')}
Alors qu'est ce qu'on doit démontrer ? et comment ? Svp

Réponse: Application injective de tiruxa, postée le 17-10-2013 à 15:26:48 (S | E)
Mais c'est écrit dans mon message précédent et dans l'énoncé, on doit démontrer que f est injective...

Il y a deux définitions pour l'injection, il vaut mieux dans ce cas utiliser celle ci :

Pour tout élément x et tout élément x' de E, si x est différent de x' alors f(x) est différent de f(x'). C'est ce que j'ai commencé à utiliser dans le message précédent.

Réponse: Application injective de inssaf147, postée le 17-10-2013 à 20:19:34 (S | E)
Franchement; j'ai pas compris tout l'exercice . Pouvez-vous écrire la réponse de l'exercice pour que je comprenne bien ? et d'avance !

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