Limite trigonometrique

Limite trigonometrique
Message de mor183 posté le 13-01-2016 à 12:43:19 (S | E | F)
bonjour a tous .pouvez vous m'aider svp pour cet exercice .il s'agit de calculer la limite suivante en identifiant la limite demandée a un taux de variation : limite x tend vers 1/3 de sin(3pi.x)/1-2cos(pi.x)

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Réponse: Limite trigonometrique de fransoise, postée le 14-01-2016 à 20:27:16 (S | E)
Bonjour mor183;
Quelques indications,
tout d'abord une limite quand x → 1/3 ; ça n'évoque rien, même si
sin(3πx) → 0 et 1 - 2cos(πx) → 0 ce qui donne une indétermination.
Le mieux consiste à revenir en terrain connu par exemple les limites quand x → 0
C'est pourquoi dans un premier temps, il faut poser x = y - 1/3, transformer la fonction f(x)=sin(3πx)/(1 - 2cos(πx)) en fonction g(y), dont on va chercher la limite quand y → 0
Pour cela, on simplifie l'expression g(y) trouvée, par exemple
on sait que sin(z + π) = -sin(z)
on a aussi des résultats sur cos(A + B) en fonction de cos(A), cos(B), sin(A) et sin(B)
et puis les valeurs de cos(π/3) et sin(π/3) sont aussi connues.
Après toutes ses simplifications, il ne restera plus qu'à utiliser ce que l'on sait de sin(z) et cos(z) quand z → 0
Servez-vous de tout cela et la solution vous apparaîtra.

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