Continuité, différentiabilité et dérivab

Continuité, différentiabilité et dérivab
Message de youp69 posté le 23-01-2016 à 19:59:56 (S | E | F)
bonsoir,

je voudrais bien de l'aide pour un de mes exercices svp :

merci
soit f la fonction définie de R²dans R par:
f(x,y)= xy^3 / x²+y² si (x,y) différent de (0,0)
et 0 si (x,y) = (0,0)
1) démontrer que pour tout (x,y) ∈ R² on a : valeur absolue de f(x,y) x²+y²

2) déterminer les dérivées partielles partielles de f en tout (x,y) ∈ R²

3)a) démontrer que pour tout (x,y) ∈ R² on a :
valeur absolue de ∂f/∂x (x,y) ≤ 2racine de x²+y² et valeur absolue de ∂f/∂y (x,y) ≤ 4 racine de x²+y²

b) en déduire que f admet des dérivées partielles continues en (0,0)

4) a) Démontrer que pour tout (x,y) ∈ R
² \ {(0,0)} on a :
valeur absolue de f (x,y) - f(0,0) - x ∂f/∂x (0,0) - y ∂f/∂y (0,0) ≤ racine de x²+y²

b) Quelle est la conséquence commune de 3°) b) et 4°) a) ?

5°) Quelle est la conséquence commune de 1°) et 4°) b) ?

voila merci beaucoup

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de razzor, postée le 23-01-2016 à 20:32:58 (S | E)
Bonsoir!

Savez-vous calculer les dérivées partielles d'une fonction?

PS. A la question 1), il me semble qu'il manque un signe d'inégalité

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de youp69, postée le 24-01-2016 à 11:44:30 (S | E)
bonjour,

oui les dérivées partielles je sais faire et pour la question 1) c'est f(x,y)≤x²+y²

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de razzor, postée le 24-01-2016 à 13:28:54 (S | E)
Donc, pour la question 1, on veut démontrer que
|f(x,y)|= |xy³ / x²+y²| ≤ x² + y²

On remarque que x²+y² est toujours positif pour toute valeur de (x,y). On peut donc écrire
|xy³| / x²+y² ≤ x² + y²

Etes-vous capable de continuer la démonstration?

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de youp69, postée le 24-01-2016 à 14:44:28 (S | E)
bonjour,

je ne comprend pas trop pouvez vous terminer la démonstration en m'expliquant svp ?

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de razzor, postée le 24-01-2016 à 17:46:15 (S | E)
|xy³| / x²+y² ≤ x² + y²

Il suffit de montrer que |xy³| / x²+y² - (x² + y²) est négatif (c'est-à-dire ≤ 0)

Ensuite, il faut trouver un dénominateur commun pour obtenir une seule fraction.
Si je multiplie x² + y² par x²+y²/x²+y², j'obtiens:

|xy³| / x²+y² - (x² + y²)² / x²+y²
=> |xy³| - (x²+y²)² / x²+y²

Il est clair que x²+y² est positif, donc il reste à vérifier que le numérateur est positif/négatif (à vous de choisir).

Je vous laisse faire la suite

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de youp69, postée le 24-01-2016 à 18:07:36 (S | E)
oui mais comment on peut savoir si le numérateur est positif ou pas je n'arrive pas à comprendre

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Réponse: Continuité, différentiabilité et dérivab de dan1, postée le 24-01-2016 à 22:11:39 (S | E)
Bonjour youp69

Je vous propose une autre piste pour déterminer les majorations qui vous sont demandées en questions 1) et 3):
passez en coordonnées polaires (si évidemment vous connaissez et maîtrisez ces notions) en posant x = rcos(a) et y = rsin(a) et en remarquant que |cos(a)|et |sin(a)| sont majorés par 1 et que x² + y² = r². Je vous laisse continuer .

Bon courage
Dan1

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