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Loi Binomiale- Poisson

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Loi Binomiale- Poisson
Message de math52 posté le 18-05-2020 à 12:00:31 (S | E | F)
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Bonjour, voici un nouvel exercice

Je suis bloqué à la première question pour trouver n et p.

J'ai d'abord démontré que c'était une loi de bernoulli de paramètre p, puis une loi binomiale tel que X = Y1+ .. + Y5.

Étant donné que c'est un événement rare, j'aimerai trouver une loi de poisson afin de faire une approximation de la loi binomiale. Celle-ci doit remplir les conditions : 

n >= 30; p=<0,1; et np<=10 

Ici on a la moyenne pour une heure, j'aimerai trouver la moyenne pour 5 minutes, donc je fais un produit en croix par exemple je trouves 8 ce qui est effectivement inférieur à 10 maintenant j'aimerai savoir combien vaut n, est ce possible ? 

 

Merci d'avance. Voici l'énoncé

 

Chaque année, entre le 9 et le 13 aout, la Terre traverse les Perséides. Il s’agit d’un essaim de météores constitué de très nombreux débris de la comète Swift-Tuttle. Chacun de ces météores peut, en entrant dans l’atmosphère, donner lieu à un phènomène lumineux bien connu : une étoile filante. Il est connu que durant cette période, on peut observer en moyenne 100 étoiles filantes par heure.

 




On note le nombre d’étoiles filantes que l’on pourra observer le 10 aout 2020 entre 1h et 1h05 du matin.

1. Quelles est la loi de 
2. Quelle est la probabilité d’observer au moins 10 étoiles filantes durant ces cinq minutes ? 
3. Quelle est la probabilité d’observer entre 5 et 10 étoiles filantes durant ces cinq minutes ? 














Réponse : Loi Binomiale- Poisson de tiruxa, postée le 18-05-2020 à 19:54:11 (S | E)
Bonjour

Je ne pense pas que vous ayez besoin de préciser n, mais pour la loi de Poisson n doit être grand et p petit.

Toutefois on pourrait étudier chaque seconde de la période de 5 minutes, il y en a 300 donc n=300, et la proba d'apparition d'une étoie au cours de cette seconde est 100/3600 = 1/36 (car 3600s dans une heure) donc p=1/36

On a np= 300/36=8.33 qui est inférieur à 10 donc les conditions sont remplies.

Ensuite soit on utilise la calculette soit une table..



Réponse : Loi Binomiale- Poisson de math52, postée le 19-05-2020 à 10:46:32 (S | E)
Super raisonnement merci beaucoup !

Pour la 2 :
P[X>=10] = 1 - P[X=<10]
= 1 - (Px=0 + Px=1 + ... + Px=10)
= 1 - (e-8,33*8,33^0/0! +.... + e-8,33*8,33^10/10!)

C'est bien cela ? Le calcul est très long..
J'ai réalisé le calcul avec Excel cela me donne 1- 0,78 soit environ 22% c'est juste ?


Et pour la 3 : P[5<=x<=10] = P[X=5] + .... + P[X=10]
Avec Excel je trouve 0,6996 qu'en dites-vous ?



Réponse : Loi Binomiale- Poisson de tiruxa, postée le 19-05-2020 à 14:40:18 (S | E)
Excel me semble un bon outil pour ce genre de calcul répétitif

Je n'ai pas vérifié les valeurs mais la méthode est juste à une exception près toutefois c'est que le contraire de "au moins 10" est "strictement inférieur à 10" ou si vous préférez "au plus 9"

Donc dans la 2) c'est 1-[p(X=0)]+...+p(X=9)]



Réponse : Loi Binomiale- Poisson de math52, postée le 20-05-2020 à 07:53:07 (S | E)
D'accord merci bonne journée à vous !



Réponse : Loi Binomiale- Poisson de chezmoi, postée le 06-06-2020 à 19:01:48 (S | E)
Bonjour,
Excel offre (mon ordi est anglais): POISSON.DIST

De ma part.
C



Réponse : Loi Binomiale- Poisson de chezmoi, postée le 08-06-2020 à 10:38:02 (S | E)
Bonjour,

La loi Poisson
P( X= 0) = exp(-u)
P(X=x) = exp(-u) u ^ x /x! , x=0,1,2,3,4….
Donc P(x=1) = (u)P(X=0)/1
En général, P(X= n+1) = u(P(X=n)/(n+1) n=0,1,2…
Qui est équation de récurrence. Cela existe pour d'autres lois de prob.
Donc c’est plus facile que vous croyiez
Poisson(0.1)


X P(X=x) plus exacte
0 0.904837 0.904837418
1 0.090484 0.090483742
2 0.004524 0.004524187
3 0.000151 0.000150806
4 0.000004 3.77016E-06
5 0.000000 7.54031E-08
6 0.000000 1.25672E-09
7 0.000000 1.79531E-11
8 0.000000 2.24414E-13
9 0.000000 2.49349E-15

En somme, la récurrence fonctionne quand Excel ne le fait plus. Et pour 3 chiffres significants s’arrêter au 3e dans les mémoires calculatrices.

Bonne chance.




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