Limite d'une suite récurrente

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Limite d'une suite récurrente
Message de nicole posté le 28-10-2020 à 09:22:52 (S | E | F)
Bonjour j’ai un dm pour les vacances j’ai essayé d’y plusieurs fois mais je n’y arrive pas donc je sollicite votre aide:

Soient Un et Vn deux suites définies par Uo=2, Vo=10 et, pour tout entier naturel n: Un+1=(2Un+Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4

1.a. Montrer qu’en, pour tout entier naturel n:
Vn+1-Un+1=5/12(Vn-Un)

b. Pour toute entier n , on pose Wn=Vn-Un. Montrer que, pour tout entier naturel n, Wn=8(5/12)^n

Merci beaucoup!

Réponse : Limite d'une suite récurrente de ho67, postée le 28-10-2020 à 10:56:05 (S | E)
Soient Un et Vn deux suites définies par Uo=2, Vo=10 et, pour tout entier naturel n: Un+1=(2Un+Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4

1.a. On a pour tout entier naturel n:
Vn+1-Un+1=((Un+3Vn)/4)-((2Un+Vn)/3)
=(3/12)(Un+3Vn)- (4/12)(2Un+Vn)
=(1/12)((3Un+9Vn)- (8Un+4Vn))
=(1/12)(3Un+9Vn- 8Un-4Vn)
=(1/12)(5Vn- 5Un)
=(5/12)(Vn- Un)

b. Pour toute entier n , on a;
Wn=Vn-Un.
Alors Wn+1=Vn+1-Un+1
D'après 1.a) on a
Wn+1=(5/12)(Vn- Un)
Wn+1=(5/12)Wn
Donc la suite (Wn) est geometrique de raison 5/12.
D'où Wn=W0*(5/12)^n.
On a: W0=V0-W0=10-2=8.
Enfin Wn=8(5/12)^n.

Réponse : Limite d'une suite récurrente de wab51, postée le 28-10-2020 à 11:24:36 (S | E)
Bonjour
Vous devriez constater qu'il s'agit de simples applications du cours .Il faut savoir son cours et bien le comprendre .
1.a. Montrer qu’en, pour tout entier naturel n:Vn+1-Un+1=5/12(Vn-Un)
Remplacer Vn+1 et Un+1 puis réduire au meme dénominateur et enfin simplifier le numérateur et mettre en facteur.Le résultat est immédiat
b. Pour toute entier n , on pose Wn=Vn-Un. Montrer que, pour tout entier naturel n, Wn=8(5/12)^n
Montrer que la suite (Wn)n est une suite géométrique ?
Pour cela ,il suffit de montrer que pour tout entier naturel n, le quotient Wn+1/Wn est constant et égal à un nombre réel non nul q .
*Remplacer Wn+1 et Wn puis simplifier pour trouver q ( qui est la raison de la suite géométrique de premier terme W0=? à calculer puisque V0 et U0 sont connues et connues.Connaissant maintenant la nature de la suite qui est géométrique ,on en déduit son terme général Wn en fonction de n ?
Je pense qu'en suivant ses explications ,vous y arrivez par vous meme à comprendre et à répondre .Bon courage et bonne chance

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