Nombre complexe

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Nombre complexe
Message de harmonique posté le 15-07-2022 à 17:30:49 (S | E | F)
Bonsoir svp besoin d'aide à propos de la question 3 de l'exercice ci-contre.
Soient Z1, Z2 et Z3 des nombres complexes non nulle ayant même module R.
1)Prouver qu'il existe des complexe a et b tels que Z2=aZ1 et Z3=bZ2.
2)Résoudre l'équation a²+b²-ab-a-b+1=0, en relation avec l'une des inconnues.
3) En utilisant si possible la question 1, prouver que si (Z1)²+(Z2)²+(Z3)²=Z1.Z2 + Z2.Z3 +Z1.Z3 alors ou bien Z1=Z2=Z3 ou bien les nombres Z1 , Z2 et Z3 sont les affixes d'un triangle équilatéral.
J'ai pu faire les question 1 et 2 mais je bloque sur la question 3.
Merci de m'éclairer.

Réponse : Nombre complexe de flaja, postée le 16-07-2022 à 14:37:28 (S | E)
Bonjour

la difficulté vient de la donnée : les 3 nombres ont le même module R
1) soit : z1 = R exp(i alpha1) ... (une inconnue alpha1 réelle au lieu de z1 complexe)
2) soit : z1 = x1 + i y1 avec x1²+y1² = R² ... (2 inconnues réelles liées par une relation)

les images de z1 ... sont sur un cercle de rayon R : pour que leur somme soit nulle, ils doivent être séparés de 2pi/3
comme les racines cubiques de l'unité (1, j, j²) vérifiant : 1+j+j² = 0
triangle équilatéral quelconque (centré sur l'origine) : z1, z1*j, z1*j²
z1, z2, z3 vérifient alors : z^3 = (z1)^3

Rappel :
z^3 = 1 possède 3 racines : (z-z1) (z-z2) (z-z3) = 0
en développant : z^3 - 1 = z^3 - z² (z1+z2+z3) + z (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1) - z1 z2 z3 = 0
vérifiant les relations suivantes entre les racines :
coeff de z² = 0 = z1+z2+z3
coeff de z = 0 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
constante = -1 = - z1 z2 z3
z1 = 1 ; z2 = j = (-1+i sqrt(3))/2 ; z3 = j² = (-1-i sqrt(3))/2

# La somme de 3 vecteurs de même module = 0 => z1, z2=j*z1, z3=j²*z1
en projetant selon z1 : z2/z1 = exp(i u) ; z3/z1 = exp(i v)
z1 + z2 + z3 = 0 => 1 + z2/z1 + z3/z1 = 0
partie réelle : 1 + cos(u) + cos(v) = 0
partie imaginaire : 0 + sin(u) + sin(v) = 0 => u = -v
d'où : 1 + 2 cos(u) = 0 => cos(u) = -1/2
donc : sin(u) = +/- sqrt(3)/2
z2/z1 = j ou j² et z3/z1 est le conjugué de u : j² ou j

Question 1)
piste fournie par la question 1 : z2 = a z1 et z3 = b z1 avec |a| = 1 et |b| = 1
permet de factoriser la variable z1 : il reste 2 inconnues complexes a, b

Question 2)
a² - a(1+b) + b²-b+1 = 0
delta = 1+2b+b² - 4b²+4b-4 = -3 (b²-2b+1) = 3i²(b-1)²
a = ( 1+b +/- i sqrt(3) (b-1) ) / 2

Question 3)
z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1² + z2² + z3²
z1² ( a + ab + b = 1 + a² + b² )
on retrouve la question 2)
plus que 2 inconnues complexes a, b (de module 1)

a + ab + b = 1 + a² + b²
on impose |a1| = 1 ou |a2| = 1
(1+b)²/4 + 3/4 (1-b)² = 1 : 2 solutions b=0 et b=1

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Modifié par flaja le 16-07-2022 14:39

Réponse : Nombre complexe de harmonique, postée le 17-07-2022 à 11:22:45 (S | E)
Merci Flaja pour cette approche.
Bonjour!!!

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