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équation complexe (cosx) du second degré

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équation complexe (cosx) du second degré
Message de gelmou posté le 30-07-2022 à 16:28:51 (S | E | F)

Bonjour ,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour comprendre un problème (mon erreur en fait) que me pose la solution d'une résolution d'une équation complexe du second degré.

Voici l'équation : 2cos²(x) + 5cos(x) - 3 = 0

Alors je ne sais pas si j'ai eu raison mais j'ai pensé que c'était une équation du second degré type aX²+bX+c=0

Donc j'ai cherché le discriminant Δ = b² - 4ac, avec les solutions x' =( -b + √Δ ) / 2a et x'' =( -b - √Δ ) / 2a, si il y en a.

Je trouve donc Δ = 5² - 4*2*(-3) = 1 => Δ > 0

Donc les solutions devraient être, si je ne me trompe :

cos'x = (-5+√1)/2*2 = (-5+1)/4 = -4/4 = 1 => x01(RAD) = π + (mais qu'elle est la période au fait ? premier problème ...)

cos"x = (-5-√1)/2*2 = (-5-1)/4 = -6/4 = -3/2 [cos"x étant une solution impossible, une non-solution donc]

Mais c'est maintenant que va se poser le problème principal, car par ailleurs, je trouve une autre solution, fournie par un professeur de mathématique (je pourrai donner lé référence si c'est nécessaire et authorisé, et/ou si on me la demande), une solution que je ne connaissais pas à ce type d'équation.

Par un raisonnement que je n'ai pas encore compris (mais là n'est pas le problème pour l'instant), l'équation 2cos²(x) + 5cos(x) - 3 = 0 se trouve pouvoir être factorisée de la sorte que le terme du milieu 5cos(x) soit décomposé en (-1cos(x)+6cos(x)).

Et que le produit de 2 par -3 (les cefficients a et c en quelque sorte de mon équation du second degré dont cos(x) est l'inconnue) apparaisse afin de pouvoir factoriser l'équation de départ ainsi :

2cos²(x) - 1cos(x) + 6cos(x) - 3 = 0

(mais ça, justement,c'est aussi un sujet que je dois trouver pour l'étudier parce que je n'en ai pas souvenir de l'avoir fait dans le passé => si vous pouvez m'indiquer au passage où se trouve le cours correspondant, sinon de toute façon je ferai des recherches sur les factorisations de polynômes du second degré. Je sais que c'est par là que ça se passe...).

Après la factorisation est simple => (2cos(x) - 1)(cos(x) + 3) = 0

Sauf que ça conduit à des solutions complètement différentes (là est mon problème principal) :

Car cela conduit d'une part à 2cos(x) - 1 = 0 avec : cos(x) = 1/2 , d'où :

x01 = π/3 + 2πn (n€Z) (Là je trouve la période puisque le coefficient "b" de la fonction cosb(x) = 1/2 est 1, et que la formule de la période est P=2π/b)

et

x02 = 5π/3 + 2πn (n€Z)

et d'autre part concernant l'autre facteur : (cos(x) + 3) = 0

cela entraîne que cos(x) = -3 qui est aussi une solution impossible.

ET C'EST LÀ QUE JE SUIS DANS LES CHOUX !!!

Quelle est mon erreur ? Pourquoi les deux méthodes ne mênent pas aux mêmes résultats ? Où est-ce que j'ai bifurqué et quitté la route sans m'en rendre compte ⛔ ??

Merci et à vot' bon coeur... 👨‍🎓

 




Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de papjo30, postée le 30-07-2022 à 18:03:26 (S | E)
Bonjour
Vous avez juste oublier le- dans votre calcul de delta, on obtient 49 et non pas 1 ce qui donne les mêmes résultats que ceux de votre prof adoré .
Cdls



Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de wab51, postée le 30-07-2022 à 20:15:39 (S | E)

Bonsoir 

Votre raisonnement est juste si ce n'est cette erreur de signe dans le calcul du discriminant . La seconde méthode ,basée sur la factorisation sans passer par la détermination du discriminant est aussi bonne . 

 Au plaisir et bonne soirée 





Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de wab51, postée le 31-07-2022 à 00:33:59 (S | E)

 

 Au plaisir .





Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de gelmou, postée le 31-07-2022 à 12:15:56 (S | E)
Bonjour,

merci beaucoup à papjo30 et wab51 pour vos réponses.

Je suis content parce que je vais m'essayer de comprendre tout ce que vous me dites.
Mais aussi pour le fait que c'était une étourderie qui me faisait me planter.

pour votre aide,
Gelmou



Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de gelmou, postée le 31-07-2022 à 15:16:24 (S | E)
Ça y est, j'ai fini par comprendre la factorisation de cette équation via les identités remarquables.

Est-ce qu'il vous est possible de m'indiquer des liens pour que j'étudie cette question avec des cours, des exemples, et des exercices, en ordre croissant dans les difficultés ?

Parce qu'au vu de la gymnastique mentale qu'il a fallu faire pour réduire cette équation en passant entre autre par deux identités remarquables (a+b)² - b² , puis par celle de (a+b)(a-b) pour finalement arriver à la factorisation je me dis que je suis loin du compte...
Et que j'ai vraiment besoin d'approfondir ce thème. 😥

Il me revient maintenant qu'au lycée nous avons été confronté à ces exercices, mais c'était avant 1970, alors c'est dire...



Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de wab51, postée le 31-07-2022 à 20:22:41 (S | E)

Bonsoir 

Lien internet





Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de gelmou, postée le 01-08-2022 à 13:21:17 (S | E)
Merci,

bon lien et très bonnes explications.

Je commence à comprendre la factorisation par complétion de carré.



Réponse : équation complexe (cosx) du second degré de wab51, postée le 01-08-2022 à 18:15:12 (S | E)
Tout d'abord ,tous mes remerciements et mes félicitations. Sentiments et plaisirs partagés et bien content de vous. .
Si vous avez encore des questions, n'hésitez donc pas ! Encore




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