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[Maths]serial numbers on a dollar bill
Message de TravisKidd posté le 22-04-2008 à 07:33:01 (S | E | F)
So I was looking at a dollar bill today, and noticed that the serial number was 51125524.
"Wow," I thought, "an 8-digit serial number that has only four distinct digits: 1,2,4,5!!!" Then I thought to myself:
"You know, that really isn't so rare. In fact, I would guess off the top of my head that the probability that an 8-digit number will have at most four distinct digits is about 10%."
So my question to you, dear mathers, is: How close was I? What is the exact probability that an 8-digit serial number (from 00000000 to 99999999) will contain at most four distinct digits?
Good luck!
P.S. Si vous êtes bon en maths mais mauvais en anglais, demandez SVP une traduction.
Message de TravisKidd posté le 22-04-2008 à 07:33:01 (S | E | F)
So I was looking at a dollar bill today, and noticed that the serial number was 51125524.
"Wow," I thought, "an 8-digit serial number that has only four distinct digits: 1,2,4,5!!!" Then I thought to myself:
"You know, that really isn't so rare. In fact, I would guess off the top of my head that the probability that an 8-digit number will have at most four distinct digits is about 10%."
So my question to you, dear mathers, is: How close was I? What is the exact probability that an 8-digit serial number (from 00000000 to 99999999) will contain at most four distinct digits?
Good luck!
P.S. Si vous êtes bon en maths mais mauvais en anglais, demandez SVP une traduction.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 24-04-2008 à 11:57:21 (S | E)
Hello Travis,
Nice to hear from you again.
There are some colored chocolates, let's call them "W&W's"
that are a real treat for those who like probabilities (once I got 5 green ones at once ...
)J'ai essayé des choses compliquées, et puis j'ai pensé à quelque chose de "simple"...et puis finalement c'est encore plus compliqué
je te soumets ma démarche mais ...le calcul des probabilités est périlleux 
et je suis sûre qu'il y en a qui sont comptés plusieurs fois dans mon calcul 
Donc voici mon raisonnement à l'ébauche (je complèterai après si j'arrive à résoudre les problèmes qui restent)
Si on choisit 4 chiffres distincts parmi les chiffres de 0 à 9 (il y a 210 façons de le faire, c'est-à-dire le nombre de combinaisons de 4 parmi 10).
On obtient un ensemble "F" qui contient 4 éléments (distincts)
Si maintenant je nomme "E" l'ensemble des 8 positions du code à 8 chiffres ;
Dire que ce code est formé seulement avec ces 4 chiffres (ou certains d'entre eux) revient à attribuer, de toutes les façons possibles, un de ces 4 chiffres à chaque position.
On est alors amené à compter le nombre d'applications de "E" dans "F" : on sait qu'il y en a 48 = 65 536
Si je multiplie cela par les 210 combinaisons, et que je divise par le nombre de codes possibles, j'obtiens environ 13,8%, mais le problème c'est qu'avec ce système il y a des codes qui sont comptés plusieurs fois, donc le pourcentage réel est inférieur à cela.
Par exemple le code "00000000" sera compté à chaque fois qu'un des 210 paquets de 4 chiffres contient le "0".
Ca ne serait pas très difficile si ce n'était que ça...mais il y a aussi des combinaisons de 2, puis de 3...qui sont comptées plusieurs fois...et là c'est plus touffu.(how do you say this in English ?)
J'espère que l'inspiration me viendra plus tard...
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 24-04-2008 à 15:53:17 (S | E)
Hello mag!
Je ne sais pas comment traduire "touffu" ... le dictionnaire du site donne "tufted" (ce que je ne connais pas en anglais non plus !), "full", ou "fluffy". Mais aucun de ces mots semble convenir à ce que tu essayes de dire. Peut-être que la seule bonne traduction est "complicated" ?
Anyway, you are on the right track! (Enfin, tu es sur la bonne voie !) Enough so that you deserve a hint!
Think very carefully about how many times the formula (10 choose 4) x 48 counts:
Numbers that contain exactly 3 distinct digits.
Numbers that contain exactly 2 distinct digits.
Numbers that contain exactly 1 distinct digit. (Combien, exactement, des 210 "paquets" de 4 chiffres contiennent un chiffre particulier donné?)
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de marie11, postée le 24-04-2008 à 16:12:28 (S | E)
Bonjour Travis.
Vous me ferez grâce des calculs intermédiaires.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 24-04-2008 à 16:17:50 (S | E)
Bonjour marie11
Mais pouvez-vous au moins donner une expication de votre formule, et votre réponse finale ? En tout cas je doute que cette formule convienne, le problème est un peu plus compliqué que ça.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de lucile83, postée le 24-04-2008 à 18:01:25 (S | E)
Hello traviskidd,
yes the most common word would be 'complicated'.
See you
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 25-04-2008 à 11:13:37 (S | E)
Hello Travis,
Back to your "arcane" problem (
Lucile pour la recherche de vocabulaire 
)Je ne suis pas très sûre de moi sur ce coup-là mais il me semble que :
- Dans ce que j'ai compté il y a
chiffres qui contiennent le "0", donc on compte 84 fois le code "0000 0000" alors qu'il ne devrait être compté qu'une fois, donc je dois l'enlever 83 fois.
C'est le même raisonnement pour les 10 chiffres de 0 à 9 donc je vais enlever : 83x10 = 830 codes à mon décompte initial.
- Pour les "2-digit-numbers" qui contiennent exactement 2 chiffres différents.
Il y a tous ceux qui ne contiennent que 0 et 1 : on va les avoir
Idem pour 0 et 2, etc... en tout cela se produit
Donc je dois enlever : 27x45 = 1 215 codes comptés en trop.
J'espère à ce moment-là que je n'ai pas déjà trop enlevé
...hum...- Je vais refaire du café, racheter de l'aspirine puis je retrousse mes manches et je reviens m'occuper des 3-digits :
pas trop d'un coup !!A bientôt
-------------------
Modifié par magstmarc le 25-04-2008 11:18
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 25-04-2008 à 17:05:18 (S | E)
You're getting warmer, mag.
And remember ... anything you've removed too much of, you can always put back!
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 25-04-2008 à 19:14:05 (S | E)
...granted you know how much too much...
Tu me fais peur
...en ai-je déjà enlevé trop ? Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 25-04-2008 à 20:29:20 (S | E)
Yes, I know how much too much
but only after having spent some time figuring it out!! I found the problem very (but not too) challenging, interesting, and enlightening, so I thought I would share it with you. Bien sûr que tu en as déjà enlevé trop, mais n'est-ce pas souvent le cas lorsqu'on compte comme ça? Quant à 00000000 en particulier, il semble que tu l'as enlevé déjà 27x9 = 243 fois en trop.
A vos effaceurs !! (ou dans ce cas, vos remplaceurs
)Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 25-04-2008 à 22:13:44 (S | E)
Ca devient franchement hirsute ton problème
Je me demande si je ne ferais pas mieux de le prendre "à l'endroit" plutôt qu'enlever, rajouter...Wait and see
La nuit porte conseil
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 27-04-2008 à 04:35:40 (S | E)
Et après deux nuits?
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 27-04-2008 à 11:18:03 (S | E)
Tu es dur avec moi Travis
Bon, je crois que je commence à disperser les nuées...enfin, j'espère
Apparemment en enlevant les combinaisons qui donnent les mêmes "2-digits", j'ai jeté le bébé avec l'eau du bain, et aussi les "1-digits" associés, que j'avais déjà enlevés.
Le "0000 0000" je l'obtiens encore quand je choisis un paquet de 4 qui contient 0 et 1, 0 et 2, ..., 0 et 9 ; j'ai enlevé 27 fois ceux-là...donc j'en rajoute 27x9
Bon, maintenant avec les autres chiffres...
J'ai l'impression diffuse qu'il faut que je commence avec "1 et 2, 2 et 3"...sinon il va y avoir encore des redites
Alors + 27x8 cette fois...
Finalement je devrais rajouter 27x(9 + 8 + ... + 1) ie 27x45
Aïe
je retombe exactement sur le nombre de "2-digits" que j'avais enlevés...Il y a quelque chose qui cloche...
Je vais finir par compter tous ces codes à la main
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 27-04-2008 à 14:39:52 (S | E)
Mais cela impliquerait que tu rajoutes 00000000 243 fois, 11111111 216 fois, 22222222 189 fois, etc. Sûrement il faut rajouter tous les "1-digits" le même nombre de fois.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 28-04-2008 à 18:53:04 (S | E)
Je recommence à y réfléchir Mardi 29 à partir de 18 h
(Reprise des cours cette semaine ...) Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de marie11, postée le 28-04-2008 à 19:19:45 (S | E)
Bonjour Travis.
Pourrais-tu, please, traduire l'énoncé de ton problème de probabilité.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 28-04-2008 à 22:27:49 (S | E)
Oui je peux, ou du moins je peux essayer.
Alors je regardais une note dollar aujourd'hui (maintenant il y a une semaine
), et ai constaté que le numéro de serie était 51125524."Waou," j'ai pensé, "un numéro de serie à 8 chiffres qui n'a que 4 chiffres distincts: 1,2,4,5 !" Puis je me suis pensé :
"Tu sais, ce n'est pas vraiment si rare. En fait, je devinerais du haut de ma tête (c'est à dire, sans/avant d'y réfléchir) que la probabilité qu'un numéro à 8 chiffres n'aura qu'au plus 4 chiffres distincts est envrion 10%."
Alors ma question pour vous, chers matheurs, est : A quel point étais-je proche ? Quelle est la probabilité exacte qu'un numéro à 8 chiffres (de 00000000 à 99999999) ne contiendra qu'au plus 4 chiffres distincts?
P.S. J'espère que ma redaction en français est plus comprehensible qu'en anglais (mais je le doute
).Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 30-04-2008 à 08:05:43 (S | E)
Since it's not my intention to keep you in suspense
, here's the solution. However, I'll hide it in case you would still like to consider the problem more. Obviously, there are 10 8-digit numbers with 1 distinct digit.
Now, let's figure out how many 8-digit numbers there are with exactly 2 distinct digits.
The formula (10 choose 2) x 28 = 45 x 256 = 11520 counts each 8-digit number with 2 distinct digits exactly once, and counts those with only 1 distinct digit 9 times each. Hence there are exactly 11520 - 10x9 = 11430 8-digit numbers with exactly 2 distinct digits.
Now let's do the same for 3 distinct digits.
(10 choose 3) x 38 = 120 x 6561 = 787320 counts each 8-digit number with 3 distinct digits exactly once, each 8-digit number with 2 distinct digits 8 times, and each 8-digit number with 1 distinct digit (9 choose 2) = 36 times. Hence there are exactly 787320 - 11430x8 - 10x36 = 695520 8-digit numbers with exactly 3 distinct digits.
Finally let's do it for 4.
(10 choose 4) x 48 = 210 x 65536 = 13762560 counts numbers with 4 distinct digits exactly once, those with 3 distinct digits 7 times, those with 2 distinct digits (8 choose 2) = 28 times, and those with 1 distinct digit (9 choose 3) = 84 times. Hence there are exactly 13762560 - 695520x7 - 11430x28 - 10x84 = 8573040 8-digit numbers with exactly 4 distinct digits.
Now, it remains simply to add up the number of 8-digit numbers with exactly 1, 2, 3, and 4 distinct digits. So: 10 + 11430 + 695520 + 8573040 = 9280000 8-digit numbers with at most 4 distinct digits.
So the probability that an 8-digit number will have at most 4 distint digits is 9280000/108, or exactly 9.28%.
So ... 10% was not a bad guess at all, considering that it was just off the top of my head!
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 30-04-2008 à 09:54:54 (S | E)
Hello Travis, 
J'ai abandonné mon décompte qui était trop 
Je pensais que j'allais essayer une autre méthode : séparer le code en deux morceaux et compter tous ceux à 4 chiffres différents au maximum qui commencent par 0000, puis par 0001, .... jusqu'à 9999 en espérant dégager une méthode de regroupement. Ainsi je me disais qu'on n'allait pas compter plusieurs fois les mêmes nombres...Mais je ne suis pas sûre que ce soit plus simple.
...
Finalement, j'ai préféré lire ta solution ! 
Merci pour l'expression "from the top of my head" que je vais ranger dans la mienne, je pense qu'en Français on dirait "j'ai pensé intuitivement que..." (pour les calculs de probabilités le calcul ne conforte pas souvent l'intuition, alors 
)
Thank you for this problem ... how did you say ... "not too challenging"
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 30-04-2008 à 13:50:48 (S | E)
You're welcome; glad you liked it, even if it made you pull your hair out.
In fact, at the time I posed this problem, the solution I had come up with was slightly incorrect, because I had put 28=128.
So I was pleasantly surprised to find that the correct count was divisible by 10000, making the percentage exact after only two decimal places! I think this phenomenon is a coincidence, and not generalizable. Indeed, if you count the numbers with at most 3 distinct digits, you get 706960.
Anyway no, this problem wasn't too challenging. Perhaps next we should try to prove Fermat's Last Theorem?
That might take more than one post.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 02-05-2008 à 16:01:03 (S | E)
Trop tard, Travis ! Wiles t'a doublé
Mais tu peux t'attaquer à la conjecture de Riemann si tu as un peu de temps libre.
Je te laisse faire -------------------
Modifié par magstmarc le 02-05-2008 16:01
En Français on dit "le Grand Théorème de Fermat" (avec des majuscules partout
) et en Anglais "le dernier"...c'est moins glorieux ! Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 02-05-2008 à 19:02:07 (S | E)
J'avais prouvé la conjecture de Riemann la dernière année, mais mon chien avais faim, et....
It's interesting that in French it's called "Fermat's Big Theorem" (although "Great" would be a more glorious translation of "Grand") because in English we do have Fermat's Little Theorem (ap = a (mod p)).
The initials FLT always refer to Fermat's Last Theorem, however.
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de magstmarc, postée le 02-05-2008 à 22:46:37 (S | E)
Oui, on dit aussi "le petit théorème de Fermat" pour l'autre, le "facile"
Si tu veux passer à la postérité il faudra donc te débarrasser de ton chien
Réponse: [Maths]serial numbers on a dollar bill de TravisKidd, postée le 03-05-2008 à 03:35:52 (S | E)
Mais il ne fallait pas à Fermat de plus larges marges !!!
INDISPENSABLES : 