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Fonction exponentielle
Message de paudesinge posté le 02-11-2008 à 15:21:03 (S | E | F)
Salut à tous,
J'ai un petit problème en maths (comme d'hab^^)
Je ne suis pas sure de mes limites et de ma dérivée pour deux fonctions exponentielles dérivables sur R et je bloque aussi sur leurs limites qu'il faut étudier à leurs bornes.
La fonction f(x) dérivable sur R : f(x)= x-1+((x^2+2)/e^x)
Pour ses limites je trouve :
en - l'infini :
lim x-1 = - l'infini quand x tend vers - l'infini
lim x^2+2= - l'infini quand x tend vers - l'infini
lim e^x=0 quand x tend vers - l'infini
Par quotient : lim x^2+2/e^x= - l'infini
donc Par somme : lim f(x) = - l'infini quand x tend vers - l'infini
(est ce que c'est bon ?)
En + l'infini je n'y arrive pas....je trouve à chaques fois des formes indéterminées. J'ai essayé de transformer x^2+2/e^x, mais cela ne m'avance à rien.
Pour la dérivée de f(x), je trouve f'(x)= 1- ((x^2-2x+2)e^x)/(e^x)^2
Est ce que c'est bon ? J'ai fais par somme et par quotient.
La fonction g(x) dérivable sur R : g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
Pour ses limites, je ne sais pas s'il faut que je prenne en compte le 1 et que j'applique directement le quotient où alors que je mette tout au même dénominateur en factorisant par E^x (Est ce que j'ai le droit ?), ce qui me ferait une fonction polynôme de la forme : -x^2-2x+2
Pour sa dérivée, je trouve g'(x)= 1 + (x^2 (e^x) )/(e^x)^2
Voilà,
Merci de m'aider
Message de paudesinge posté le 02-11-2008 à 15:21:03 (S | E | F)
Salut à tous,
J'ai un petit problème en maths (comme d'hab^^)
Je ne suis pas sure de mes limites et de ma dérivée pour deux fonctions exponentielles dérivables sur R et je bloque aussi sur leurs limites qu'il faut étudier à leurs bornes.
La fonction f(x) dérivable sur R : f(x)= x-1+((x^2+2)/e^x)
Pour ses limites je trouve :
en - l'infini :
lim x-1 = - l'infini quand x tend vers - l'infini
lim x^2+2= - l'infini quand x tend vers - l'infini
lim e^x=0 quand x tend vers - l'infini
Par quotient : lim x^2+2/e^x= - l'infini
donc Par somme : lim f(x) = - l'infini quand x tend vers - l'infini
(est ce que c'est bon ?)
En + l'infini je n'y arrive pas....je trouve à chaques fois des formes indéterminées. J'ai essayé de transformer x^2+2/e^x, mais cela ne m'avance à rien.
Pour la dérivée de f(x), je trouve f'(x)= 1- ((x^2-2x+2)e^x)/(e^x)^2
Est ce que c'est bon ? J'ai fais par somme et par quotient.
La fonction g(x) dérivable sur R : g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
Pour ses limites, je ne sais pas s'il faut que je prenne en compte le 1 et que j'applique directement le quotient où alors que je mette tout au même dénominateur en factorisant par E^x (Est ce que j'ai le droit ?), ce qui me ferait une fonction polynôme de la forme : -x^2-2x+2
Pour sa dérivée, je trouve g'(x)= 1 + (x^2 (e^x) )/(e^x)^2
Voilà,
Merci de m'aider
Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 15:29:28 (S | E)
Hello
"lim x^2+2= - l'infini quand x tend vers - l'infini" : impossible ! x²+2 est toujours positif.
On aboutit donc à une forme indéterminée.
Quelles sont les limites que tu as apprises avec la fonction exponentielle ? On peut peut-être s'en servir.
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 15:36:54 (S | E)
Ah oui du coup, c'est encore inderterminée...
Alors j'ai e^x=O quand x tend vers - l'infini
limE^x=+ l'infini quand x tend vers + l'infini
limE^x/x= + l'infini quand x tend vers + l'infini
lim xe^x=o quand x tend vers - l'infini
lim (e^x-1)/x=1 quand x tend vers 0
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 15:55:08 (S | E)
Je ne vois pas trop comment on pourrait s'en servir....:s
Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 16:32:15 (S | E)
Et en réduisant l'expression de f(x) au même dénominateur...
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:43:28 (S | E)
lorsqu'on met la fonction f(x) au même dénominateur, ça donne une fonction polynôme de la forme
x^2+x+1
ce qui donne comme limite
limx^2+x+1= + l'infini quand x tend vers - l'infini
et lim x^2+x+1= + l'infini quand x tend vers + l'infini
donc f(x)=+ l'infini quand x tend vers l'infini
Est ce que c'est bon ?
On peut faire pareil avec g(x) ?
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:45:44 (S | E)
Ce que je comprends pas c'est que quand on met au même dénominateur, on obtient pas la même courbe sur la calto...
Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 16:50:23 (S | E)
Bon réflexe d'avoir vérifié en tout cas
Qu'obtiens-tu comme expression en réduisant au même dénominateur ?
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:56:16 (S | E)
En réduisant au même dénominateur,
pour f(x) ça me fait
f(x) = x-1 +( (x^2+2)/e^x )
f(x) = e^x(x-1)+x^2+2 divisé par e^x
f(x)= x^2+x+1
et pour g(x)
g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
g(x)= e^x/e^x - ((x^2-2x+2)/e^x)
g(x)= e^x-x^2-2x+2/e^x
g(x)= -x^2-2x+2
Est ce que c'est bon ?
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:00:52 (S | E)
Ah je me suis gourrée pour g(x), j'ai fais une erreur de signe
j'obitens à la fin
g(x)= -x^2+2x-2
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 17:17:02 (S | E)
Bonjour,
désolée mais tu inventes des règles fausses pour simplifier
par exemple,
de la même manière
on a
l'idée c'est de mettre en facteur le terme de plus haut degré (ici e^x)
pour cela on n'invente pas de formule!
indication: e^x * e^(-x) =e^0=1
pour la limite en +∞
tu connais lim {x → +∞} {e^x /x}= +∞
on a aussi lim {x → +∞} {e^x /x²}= +∞
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:39:35 (S | E)
ah oui c'est vrai, je suis balot....Merci
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:48:29 (S | E)
Est ce qu'il faut développer par e^x, le x-1 ?
Merci
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:52:40 (S | E)
ce qui nous ferait f(x)= xe^x-e^x+x^2+2 divisé par e^x
En utilisant e^o
on peut faire : e^x(x-1)+x^2=2 multiplié par e^-x ?
ce qui fait
f(x)= e^0(x-1)+ x^2e-x+2e-x ?
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 17:59:58 (S | E)
non on ne développe pas e^x
il faut le mettre en facteur au numérateur pour pouvoir simplifier!
écrire x²+2 sous la forme e^x*e^(-x)*(x²+2)
dérivée de f:elle est définie par f'(x)= 1- ((x^2-2x+2)e^x)/(e^x)^2 correct mais remarque qu'on peut simplifier et tu obtiens ...
la dérivée de g : revois ton calcul
-------------------
Modifié par iza51 le 02-11-2008 18:06
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 18:39:04 (S | E)
J'ai simplifier f(x) par e^x ce qui me donne à la fin f(x)= x-1 + (1/e^x)(x^2+2)
lim 1/e^x= O quand x tend vers l'infini
Par produit lim 1/e^x(x^2+2)=0 quand x tend vers l'infini
or,
lim x-1= - l'infini quand x tend vers - l'infini
lim x-1 = + l'infini quand x tend vers + l'infini
Par somme : lim f(x)=+ l'infini quand x tend vers + l'infini
lim f(x)= - l'infini quand x tend vers - l'infini
Est ce que c'est bon ?
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 18:41:45 (S | E)
J'ai simplifier la dérivée de f(x) et ça me donne
f'(x)= 1-(x^2-2x+2)(e^x)^-1
Mais c'est pas plus compliqué pour faire le tableau de signe par la suite ?
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 19:29:12 (S | E)
n'as tu pas reconnu g(x) en simplifiant f'(x)?
l'étude des variations de g permet d'obtenir le signe de g(x) donc celui de f '(x); on en déduit les variations de f
reprenons les limites
en +∞: x-1 → +∞ et x²/e^x →0 (c'est l'inverse de e^x/x² qui tend vers +∞) et 2/e^x → 0 d'où la limite de la somme
en -∞, on développe e^x comme tu voulais le faire
(désolée, je faisais autre chose en même temps)on écrit
en -∞, on a x e^x → 0 et e^x → 0 et x²+2 → +∞ d'où la somme puis en multipliant par etc. etc.
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 19:49:54 (S | E)
Je comprends pas la limite en + l'infini, de quelle fonction c'est partie...Il faut pas utiliser e^o alors ?
En - l'infini, j'ai compris....
Mais est ce que avec ce que j'avais fais avant ça marche ? (c'est juste pour savoir parce que sinon je comprends pas pourquoi ça pourrait pas marcher)
Merci pour la dérivée, j'avais pas remarquer, merci bien
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:00:01 (S | E)
Au faite, pour la limite en - l'infini :
il y a un moins devant e^x, on en tient pas compte ?
Merci
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:02:35 (S | E)
tu avais écrit avant: "lim 1/e^x= O quand x tend vers l'infini" c'est vrai en +∞ pas en -∞
Par produit lim 1/e^x(x^2+2)=0 quand x tend vers l'infini mais là en +∞, ça donne une forme indéterminée
et en -∞ la limite est +∞ et non pas 0
-------------------
Modifié par iza51 le 02-11-2008 20:03
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:02:45 (S | E)
La limite de e^-x en - l'infini c'est bien égale à la lim de 1/ e^x ?
Ce qui est égale à O ?
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:06:58 (S | E)
e^(-x) → +∞ quand x → -∞ car alors (-x) → +∞
c'est e^x qui tend vers 0 quand x → -∞ ; son inverse tend vers +∞
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:51:11 (S | E)
Merci, je crois que j'ai enfin compris les limites -_-'....
Je crois que j'ai trouvé la dérivé de g(x)
je pense que c'est g'(x)=x^2(e^x)/(e^x)^2
Merci pour l'aide
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:56:49 (S | E)
tu peux détailler ton calcul?
la formule que tu proposes pour la dérivée de g n'est pas correcte!
tu peux dériver en utilisant la formule du produit
g(x)=1 + (x²-2x+2)*e^(-x)
donc g'(x)= 0+ (...)(...)+(...)(...)
mais attention à la dérivée de v avec v(x)= e^(-x), on a v'(x)=-e^(-x)
-------------------
Modifié par iza51 le 02-11-2008 20:57
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 21:01:25 (S | E)
g(x)=1+(-x^2-2x+2)/e^x
g'(x)=u'v-uv'/v^2
g'(x)=(-2x-2)(e^x)-(-x^2-2x+2)(e^x)/(e^x)^2
g'(x)-2x-2+x^2+2x-2(e^x)/(e^x)^2
g'(x)=x^2(e^x)/(e^x)^2
Voili voilou
Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 21:15:26 (S | E)
mais tu as donné à ton premier post
g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
???
tu dérives g(x)=1+(-x^2-2x+2)/e^x
mais ce n'est pas la m^me fonction!!!
il y a des erreurs de signes! rappels: - (x^2-2x+2)=-x^2+2x-2
tu dois obtenir: g '(x)=(x²-4x+4)/e^x= ( ...)²/e^x
le signe est alors immédiat
-------------------
Modifié par iza51 le 02-11-2008 21:37
Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 22:45:30 (S | E)
Ah voui, je suis encore balot....ARF j'ai cherché midi à quatorze heure ^^
Merci encore
INDISPENSABLES : 