Bissectrices, projetés orthogonaux

Bissectrices, projetés orthogonaux (1)

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Bissectrices, projetés orthogonaux
Message de audrey59130 posté le 03-11-2008 à 21:31:59 (S | E | F)
Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice.
J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.

On considère un triangle ABC. K est le point d'intersection de la bissectrice de l'angle BAC et du coté [BC]. Les points H et H' sont les projetés orthogonaux de point K respectivement sur (AB) et (AC). Le point A' est le projeté orthogonal du point A sur (BC).

1°) Justifier les égalités suivantes : KH x AB = KB x AA' et KH' x AC = KC x AA'

2°) En déduire que : KB/KC = AB/AC

3°) En Application : on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 2AC. Soit K le point du segment [BC] tel que KB = 2KC. Justifier que le droite (AK) est la bissectrice de l'angle BAC

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de taconnet, postée le 03-11-2008 à 22:21:36 (S | E)
Bonjour.

Puisque vous avez montré que :

[Ak) bissectrice de l'angle BAC ══> BK/BC = AB/AC

Il suffit dans la troisième question d'appliquer cette propriété, qui en réalité est un théorème.

Lien Internet

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Modifié par magstmarc le 03-11-2008 23:11
C'est la réciproque qui est demandée dans la dernière question.

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 03-11-2008 à 22:32:19 (S | E)
Merci, mais je n'arrive pas à le justifier:
Voici ma démarche :
KB/KC = AB/AC
Donc 2KC/KC = 2AC/AC
Donc 2=2

Et à partir de ce moment là, je suis bloquée .. :/
Pouvez vous m'aider à nouveau svp ?

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de magstmarc, postée le 03-11-2008 à 23:26:55 (S | E)
Hello Audrey,

Tu es en train de raisonner à l'envers, d'où le problème
Quelles sont les hypothèses (point de départ) ? AB = 2AC et KB = 2 KC (entre autres)
On en déduit que KB/KC = AB/AC (= 2).
Maintenant, comme il est écrit "application", on est censé se servir de ce qu'on a fait avant
Hélas on ne peut pas directement dire "donc (AK) est la bissectrice de..." car c'est la réciproque de ce qu'on a montré avant, et on ne sait pas a priori si cette réciproque est vraie.
Ce qu'on peut faire c'est construire la bissectrice de l'angle BAC, disons (AK'), qui coupe [BC] en K'. Puis utiliser les conclusions des questions précédentes pour montrer qu'en réalité K = K'. Un peu long, mais efficace...
Par contre je ne vois pas où intervient le fait que ABC soit rectangle Y a-t-il d'autres questions ensuite ?

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 03-11-2008 à 23:32:51 (S | E)
Merci mais j'avoue que je n'ai pas compris toute votre démarche .. :/
Il n'y a pas d'autres questions ensuite.

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 03-11-2008 à 23:38:25 (S | E)
J'ai relu plusieurs fois votre réponse et je pense avoir compris.
Mais comment ammener que 2KC/KC = 2AC/AC ? Comment le prouver ?

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de magstmarc, postée le 03-11-2008 à 23:50:02 (S | E)
2KC/KC = 2 , tout comme 2 AC/AC, d'où l'égalité

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 03-11-2008 à 23:54:44 (S | E)
Ah oui, d'accord, j'ai enfin compris ..
Donc je résouds l'équation et j'arrive donc à "KB/KC = AB/AC"
Mais ensuite, comment continuer pour arriver à la conclusion que (AK) est la bissectrice de l'angle BAC ?

(Merci beaucoup de prendre sur votre temps pour m'aider )

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 04-11-2008 à 00:24:31 (S | E)
Je pense avoir une piste autre, qui se servirait du fait que ABC est rectangle en A, mais je n'arrive pas à démontrer toute ma démarche ..

Alors voici ma rédaction:
On sait que H et H' sont les projetés orthogonaux du point K respectivement sur (AB) et (AC)
Or.. (propriété des projetés orthogonaux)
Donc (KH) est perpendiculaire à (AB) et (KH') est perpendiculaire à (AC)

On sait que AHKH' est un quadrilatère qui possède 3 angles droits
Or, si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c'est un rectangle
Donc AHKH' est un rectangle

Et après, je voudrais démontrer que c'est un carré pour réussir à démontrer que (AK) est une bissectrice..

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de taconnet, postée le 04-11-2008 à 10:11:43 (S | E)
Bonjour.

Voici la figure :

Le triangle rectangle est construit tel que AB = 2AC
K est le point tel que KB = 2KC
Du point C on trace la parallèle à (AB) qui coupe (AK) en D

Étudiez avec soin cette figure et montrez que [AK) est bissectrice de l'angle BAC.

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 04-11-2008 à 13:36:10 (S | E)
Bonjour,
Tout d'abord, merci
Mais je ne vois pas comment démontrer que (AK) est la bissectrice de l'angle BAC en partant de deux parallèles ..
Pouvez-vous, s'il vous plait, me mettre un peu plus sur la voie ..?

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de magstmarc, postée le 04-11-2008 à 14:34:12 (S | E)
Tu peux aussi continuer ta démonstration avec le rectangle, elle est juste, l'inconvénient étant que ça n'utilise pas du tout la 1ère partie mais bon, tant pis
Grâce aux angles droits tu peux facilement prouver que (KH)//(AC) et (KH')//(AB)
Avec le théorème de Thalès dans les bons triangles...on obtient
H'K = AB/3 = 2AC/3 car AB = 2AC
HK = 2AC/3
donc H'K=HK et on a notre carré

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 04-11-2008 à 14:50:19 (S | E)
Oui, mais moi je n'ai pas fait comme ça ..
J'ai prouvé grâce à la première question, que AHKH' est un carré.
Ensuite, que HAH' est isocèle, que (AK) est une médiane, donc une bissectrice.
Ai-je le droit de reprendre ce que j'ai démontré à la première question ou pas ..?

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de taconnet, postée le 04-11-2008 à 17:39:47 (S | E)
Bonjour.

Voici ce que je propose :

On sait que :
AB = 2AC <══> AB/AC = 2
KB = 2KC <══> KB/KC = 2

Puique les droites (CD) et (AB) sont paralléles l'application du théorème de Thalès permet d'écrire l'égalité des rapports suivants :

AB/CD = KB/KC = 2

Donc AB = 2CD ══> CD = AC
Ainsi ACD est rectangle isocèle. L'angle CAK a pour mesure 45°.[AK) est bien la bissectrice de l'angle BAC.

Je peux aussi développer ma première solution.

Réponse: Bissectrices, projetés orthogonaux de audrey59130, postée le 04-11-2008 à 17:57:32 (S | E)
Votre solution me parait tout à fait réalisable, merci beaucoup !

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