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[2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel
Message de jipey posté le 17-09-2009 à 19:06:00 (S | E | F)
Bonsoir à tous!
Donc voila, je galère vraiment sur un exo à rendre pour samedi matin,qui de plus est noté.
Un peu de votre aide me ferait le plus grand bien ami forumeurs!
Voici donc l'énoncé =>
" \/2 n'est pas un quotient d'entiers.
Pour le prouver nous supposons qu'il existe une fraction irrductible p/q telle que \/2=p/q, ce qui revient a supposer que 2=p²/q² ou encore 2q²=p².
Nous verrons que cette proposition conduit a une contradiction et donc ne peut pas être vraie. "
1) Démontrez que si un entier naturel m est impair, alors m² est impair.
Aide: tout nombre impair s'écrit sous la forme 2n+1, n € N donc si m=2n+1, alors m² = ...
Il résulte de ceci que si m² est pair alors m est pair.
En effet, si m était impair, m² serait impair d'après 1.
2)Puisque 2q²=p² , p² est pair. Donc p est pair.
Posez alors p=2m, déduisez-en que q² est pair puis, que q est pair.
3) Ou se situe la contradiction?
Pour la 3) je ne suis pas sur mais je pense que la contradiction provient du fait que p et q sont pairs, donc la fraction p/q n'est pas irréductible (elle est de la forme : 2p'/2q').
Merci beaucoup de votre aide!
Message de jipey posté le 17-09-2009 à 19:06:00 (S | E | F)
Bonsoir à tous!
Donc voila, je galère vraiment sur un exo à rendre pour samedi matin,qui de plus est noté.
Un peu de votre aide me ferait le plus grand bien ami forumeurs!
Voici donc l'énoncé =>
" \/2 n'est pas un quotient d'entiers.
Pour le prouver nous supposons qu'il existe une fraction irrductible p/q telle que \/2=p/q, ce qui revient a supposer que 2=p²/q² ou encore 2q²=p².
Nous verrons que cette proposition conduit a une contradiction et donc ne peut pas être vraie. "
1) Démontrez que si un entier naturel m est impair, alors m² est impair.
Aide: tout nombre impair s'écrit sous la forme 2n+1, n € N donc si m=2n+1, alors m² = ...
Il résulte de ceci que si m² est pair alors m est pair.
En effet, si m était impair, m² serait impair d'après 1.
2)Puisque 2q²=p² , p² est pair. Donc p est pair.
Posez alors p=2m, déduisez-en que q² est pair puis, que q est pair.
3) Ou se situe la contradiction?
Pour la 3) je ne suis pas sur mais je pense que la contradiction provient du fait que p et q sont pairs, donc la fraction p/q n'est pas irréductible (elle est de la forme : 2p'/2q').
Merci beaucoup de votre aide!
Réponse: [2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel de taconnet, postée le 18-09-2009 à 09:55:52 (S | E)
Bonjour.
Ce type de démonstration est appelé démonstration par l'absurde.
On vous demande de montrer que le carré d'un nombre impair est impair.
Donc par inférence, que le carré d'un nombre pair est pair.
en effet:
2n + 1 est impair, son carré est (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n²+ 2n) + 1
Résultat qui est bien de la forme 2K + 1
Voici un lien où figure l'intégralité de la démonstration.
Lien Internet
Réponse: [2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel de jipey, postée le 18-09-2009 à 17:48:09 (S | E)
Merci bien l'ami, je vais voir cela de plus près!
Réponse: [2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel de jipey, postée le 18-09-2009 à 19:56:12 (S | E)
Merci beaucoup pour la réponse, mais je n'arrive pas à procéder de la méme méthode pour la 2ème question..
=> Puisque 2q²=p² , p² est pair. Donc p est pair.
Posez alors p=2m, déduisez-en que q² est pair puis, que q est pair.
Merci encore de votre futur réponse, je bloque vraiment
Réponse: [2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel de jipey, postée le 18-09-2009 à 21:11:25 (S | E)
Aidez moi svp faut il utiliser les diagonales du carré ???
Réponse: [2nd]Bloqué sur Nb Irrationnel de fr, postée le 20-09-2009 à 20:40:49 (S | E)
Bonsoir,
Si on pose p=2m (avec m entier), que vaut p² ?
D'où, 2q² = ..., d'où q² = ...
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