Problème de mathématiques

Problème de mathématiques
Message de dmat6789 posté le 04-03-2017 à 00:41:17 (S | E | F)

voici un petit problème pas facile à résoudre, si quelqu'un a une piste ou meme la solution mettez la en commentaire merci d'avance et bonnes vacances !
Ps : je suis en troisieme.

Pour le problème vous n'aurez besoin que de trois nombres : 1,0 et -1 Et de grilles !
Il faudra remplir les grilles avec ces nombres mais avec une condition supplémentaire : en faisant la somme des nombres placés dans chacune des lignes et dans chacune des colonnes, vous trouverez des résultats tous différents. On dira qu'une grille est gagnante si aucune des sommes des lignes et des colonnes ne sont égales.

Exemple
①① = 2
-①⓪ = -1
=０ =1 Grille gagnante

①-① = 0
-①⓪ =-1
=０ =1 Grille perdante

Quelles sont les grilles gagnantes de taille 2x2 ? De taille 3x3 ? de taille 4x4 ? ... de taille nxn ? Et plus généralement :

Quelles sont les grilles que vous pouvez remplir en respectant cette règle ?

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Réponse : Problème de mathématiques de puente17, postée le 05-03-2017 à 15:26:58 (S | E)
Bonjour,
Je ne traite ici que le cas 2x2 et je doute sérieusement que ce soit un exercice de 3ième
Sachant que si on a une solution alors on en a 7 autres par rotation (90° ou 180° ou 270°) ou par symétrie axiale ou les 2, et sachant qu'il y a forcément un des chiffres répétés 2 fois,le 1 ou le -1 et pas plus (à justifier) on simplifie la recherche en mettant le chiffre répété 2 fois 'en haut à gauche' et on obtient en choisissant 1 la seule solution possible (que vous avez donnée):
(ça demande une justification sérieuse que je vous laisse faire )
1;1
0;-1

si on remplace celui qui est doublé, 1, par -1 on obtient donc 2 fois plus de solutions puis si on fait tourner de 0°, 90°,180°,270° on a 4 solutions et si on recommence après avoir fait une symétrie axiale on retrouve en tournant encore 4 autres solutions.

Donc sauf erreur on obtient 2 x 8 = 16 solutions.

Remarque: le nombre total de grilles possibles est de 3x3x3x3 = 81 car on a 3 possibilités pour chaque case de la grille 2x2
avec la première bonne réponse on a aussi: 0;1/-1;1 et -1;0/ 1;1 et 1;-1/1;0 puis on applique la symétrie axiale d'axe 'vertical'et passant par le centre de la grille

en fait il n'y a qu'une bonnes réponses toutes les autres s'obtiennent en faisant tourner la grille (les rotations) ou en la 'retournant' (la symétrie) ou en intervertissant le rôle de 1 et de -1.
16/81 = 0,2 (environ), donc en tapant une grille au hasard on a environ 1 chance sur cinq qu'elle soit bonne.

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